FONCTIONS TRINOMES
OU
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

I- FONCTIONS TRINOMES
1- Définitions et forme développée :
- On appelle fonction polynôme du second degré ou fonction trinôme toute fonction f définie sur IR par f (x )=a x 2+b x+c où a est non nul.
- L'expression a x 2+b x+c est appelée polynôme du second degré ou trinôme.
Exemples : fonctions f, g et h définies sur IR par : f (x )=3 x 2 – 2 x+1 ; g ( x)=( x+1)(3 x−1) et h( x)=( x+1)3 – (x−1)3 sont des fonctions trinômes.

– les

- La fonction f définie sur IR par f (x )=( x+1)2−x 2 n'est pas une fonction trinôme, mais une fonction affine.

2- Forme canonique :
La forme canonique d'un trinôme f (x )=a x 2+b x+c est a (x−α)2+β avec α=−

b et β= f (α)
2a

Exemple :
Déterminer la forme canonique du trinôme f (x )=2 x 2 +4 x−5 a=2 ; b=4 et c=−5 .
4
=−1
2×2
et β= f (−1)=2×(−1)2 +4×(−1)– 5=−7
Alors α=−

La forme canonique de f (x ) est donc f (x )=2 ( x+1)2−7 .

3- Étude des variations de f : → a x 2+b x+c f (x )=a x 2+b x+c (forme développée) ou encore a ( x−α)2+β (forme canonique) avec α=−

b et β= f (α) .
2a

Les variations de f sont décrites par ces tableaux : a>0 x

–∞

α

+∞

f ( x)

β

a0
2a
b f admet un maximum en α=− si a0 , la parabole est "tournée vers le haut", elle est tournée vers le bas sinon.

S(α ;β) est le sommet de cette parabole. b La droite d'équation x=α ou x=− est l'axe de symétrie de la parabole.
2a