Polynômes orthogonaux

1ère S3 DEVOIR n°1 DE MATHEMATIQUES 03.10.2013 EXERCICE 1 Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par : ( ) On désigne par С la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé ( ⃗ ⃗). Vous justifierez toutes vos réponses. 1. a) Déterminer la forme canonique de f . b) Quelles sont les racines de f ? c) Donner la forme factorisée de f. 2. Donner le tableau de signes de f(x). 3. Dresser le tableau de variations de f. 4. Résoudre a) l’équation ( ) b) l’inéquation

Forme factorisée du polynôme ax 2 bxc Propriété Si <0 le polynôme n'est pas factorisable. 2 Si =0 alors f  x =a  x −x 0  Si >0 alors f  x =a  x −x 1 x−x 2  Exemple : 1) Résoudre l'équation f(x)=0 2) Factorisez la fonction f 1) f  x =2 x 2−2 x −12 =−22−4×2×−12=496=100 x 1= 2−10 −8 = =−2 2×2 4 x 2= 210 12 = =3 2×2 4 on vérifie : 2 −23 −2×−2−12=84−12=0 -2 est bien une racine du polynôme 2×32−2×3−12=18−6−12=0 3 est bien une racine du polynôme 2) f(x)=2(x+2)(x-3)

+c Donc c= -3900 Donc on peut dire que B(x)= x carré + 160 x -3900 2. f (79)=(12640-6241)-3900= 2499 f (81)=(12960-6561)-3900= 2499 Pour 79 et 81% d’occupation, le bénéfice est le même. 3. Comme on a une fonction polynôme du second degré, elle croit (avec a négatif) ou décroit (avec a positif) jusqu’au sommet puis elle décroit (avec a négatif) ou croit (avec a positif). Elle ne redescend ou remonte plus après. Donc l’occupation avec le bénéfice maximal sera la moyenne

. On peut utiliser la forme développée : ? 0 = 0,52 m. Roger a frappé la balle à ?? cm de hauteur. 4. Il s’agit de trouver le maximum de la fonction ?. On utilise la forme canonique. 0,016 ? − 8 2 + 1,544 est la forme canonique de la fonction polynôme ? avec ? = −0,016 ; ? = 8 et ? = 1,544. La fonction ? admet donc un maximum en ? = 8 qui vaut 1,544. La hauteur maximale de la balle est 1,544 mètre, atteinte à une distance (à l’horizontale) de 8 mètres de Roger. 5. a. Il s’agit de résoudre

Les fonctions polynômes du second degré I. Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Une fonction polynôme est une fonction qui s’écrite sous la forme de avec , et . Exemples : Les fonctions suivantes sont des fonctions polynôme du second. a. avec et . b. avec , et . c. avec , et d. avec , et e. avec , et . 2. Rappel sur l’étude d’une fonction   du second degré Domaine de définition : Toutes les fonctions polynômes de degré deux sont définies

signe de f (x) sur ℝ ------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice n°1 (Corrigé) 1°) Calcul de la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est définie, continue et dérivable sur ℝ . Et pour tout x ∈ℝ : f ' (x)=3 x 2+2 x−5 . a) Pour connaître le sens de variation de f , on étudie le signe de f ' ( x) . On résout d'abord l'équation f ' (x)=0 c'est-à-dire 3 x 2+2 x−5=0 avec

Chapitre 1 : Fonctions polynômes 1. Les fonctions polynômes du 2nd degré Définition : Une fonction polynôme du second degré est une fonction �� définie sur ℝ par : �� �� = ���� 2 + ���� + �� �������� ��, �� ���� �� ������ ��é������ ���� �� ≠ 0 a) Forme canonique Il s’agit de factoriser la fonction polynôme �� �� ���� 2 + ���� + �� = �� �� 2 + �� + �� �� 2 �� �� 2 �� = �� �� + − 2+ 2�� 4�� �� = �� �� �� + 2�� 2 �� 2 − 4���� − 4��2 Rappel : �� + �� 2 = �� 2 + 2���� + ��2 �� 2 − �� = �� − �� ��

Déduire à partir des variations de la fonction « carré » les variations d’une fonction polynôme de degré 2. Les variations de la fonction carré (décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; + [) étant connues et écrites dans le cours, on a le droit de les utiliser dans un exercice sans le redémontrer. Elles permettent de justifier qu’une fonction qui « ressemble » à la fonction carré (comme , ; ou un intervalle. a) b) c) d) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. Montrer que la

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = =

POLYNÔMES FRACTIONS ALGEBRIQUES Gérard Buzaglo MathématiqueMATH 436 - Lidec Extraits: - Essentiel - Mathématique 2000 MATH 436 - Guérin 1. Polynômes 1.1 Monôme 1.2 Apérationsentre Monômes 1.3 Polynôme 1.4 Sommeet differencede polynômes 1.5 ldentitésremarquables 1.6 Quotientde polynômes 1.7 Théorèmedu reste 2. Factorisation...... simple 2.1 Mise en évidence 2.2 Mise en évidencedouble 2.3 Difference de deux carrés en 2.4 Factorisation plusieursétapes 2.5 Trinômes carrésparfaits 2.6 Discriminant