Plan complexe

22 janvier 2013 Les nombres complexes Table des matières 1 Introduction 1.1 Un problème historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Création d’un nouvel ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Construction des nombres complexes 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Représentation des nombres complexes 2.3 Opérations avec les complexes . . . . . 2.4 Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Applications

parfait état de marche à l’issue de la période de garantie est égale à : A: A : 0,35 à 10−2 près B : 0,859 C : 0,859 × 0,15 D : 0,859 × 0,15 × 10 E XERCICE 2 5 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité → → − − Le plan est muni d’un repère orthonormal direct O, u , v d’unité 1 cm. 1. Restitution organisée de connaissances Pour M?Ω, on rappelle que le point M ′ est l’image du point M par la rotation r de centre Ω et d’angle de mesure θ si et seulement si : ΩM ′ −−

Partie A On considère l’équation : (E) z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = 0 où z est un nombre complexe. 1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation. 2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait : z 3 − (4 + i)z 2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i) az 2 + bz + c . 3. En déduire les solutions de l’équation (E). Partie B → → − − Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on désigne par A, B et C les points d’affixes

Module et conjugué d'un nombre complexe Nombres complexes On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, Définition - Propriétés Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires

chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon. 1. Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0. 2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). 3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales. 4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :   x y  z = = = −1 + 2t −1 + t 1−t (CD) (t ∈ R). 5. Le point I

mythique d'OEdipe en utilisant ou en rejetant les caractéristiques de la peinture classique d'Ingres. - On retrouve quasiment la même composition : position d’..........................., présence du ................... en hauteur face à lui, arrière-plan avec une ouverture. - De nombreuses différences apparaissent : Œdipe a la jambe ........................................................................................, il semble ............................................, il ne tend pas le doigt

Asie, 2001 Sujet Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;u ;v ). On appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de −1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : −iz − 2 z’ = z + 1 . Soient A, B et C les points d’affixes respectives a = −1, b = 2i et c = − i. 1. Soit C’ l’image du point C par f. Donner l’affixe c’ du point C’ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. 1 2. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D’ d’affixe

structures algébriques 1re année 140 144 148 Applications 1re année Arithmétique dans Z 1re année Relations 1re année 128 46 130 Nombres complexes 1re année Entiers naturels 1re année 47 133 Dénombrement 1re année Exponentielle complexe 1re année 151 Table des matières 48 49 Nombres complexes et géométrie plane 1re année 154 156 50 51 Divisibilité dans K[X] 1re année 160 162 Fractions rationnelles 1re année Polynômes 1re année

Exercice 1: (4 points) Cocher la bonne réponse. Justifier. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, , ) 1) Soit z un nombre complexe non nul d’argument , alors un argument de est a) b) c) 2) L’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que z = z + est a) l’ensemble vide b) un cercle c) une droite 3) Soit z un complexe de module 2, M le point d’affixe z et N le point d’affixe z + i z a) ON = 4 b) Le triangle OMN est équilatéral c) Le triangle OMN est rectangle 4) On désigne par x

n’enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante. 1. La forme exponentielle du nombre complexe z1 = ✞ a. z1 = 2 3ei 4 π ✝ ☎ ✆ b. π z1 = 2 6e−i 4 2. On considère les nombres complexes z1 = z1 = 6ei 4 π c. d. z1 = 2ei 7π 4 6 + i 6 et z2 = − 6 + i 6. Le nombre complexe z2 est égal à : a. z1 6 + i 6 est : b. −z1 ✞ ☎ ✝ ✆ c. −z1 3. La fonction f est définie sur l’intervalle ]0