Plan complexe

Nombres complexes Définition - Propriétés Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie

discret est stable si et seulement tous les pôles de sa fonction transfert G(z) = N(z)/D(z), racines de l’équation D(z) = 0, ont tous un module inférieur à 1, c’est-à-dire se trouvent tous à l’intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon unité du plan z. II- Application aux systèmes asservis. La figure ci-dessous représente le schéma fonctionnel canonique d’un asservissement échantillonné: On note : - G(z) = G1(z) G2(z) la fonction de transfert en boucle ouverte : - F(z) la fonction de transfert

l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). Page 1/5 E J F K G H N M A L B C I Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N. − (a) Prouver que le vecteur → de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). n (b)

s'exiler à Londres, où il meurt le 23 septembre 1939. 2 œuvres à retenir : - L’interprétation des rêves (1900), PUF - Totem et Tabou (1912), Payot, collection « Petite bibliothèque Payot »(2004) ( Freud émet l’hypothèse que c’est le complexe d’Œdipe qui a suggéré à l’humanité au début de son histoire, la conscience de la culpabilité, cette source dernière de la religion et de la moralité. « J’ai trouvé en moi comme partout ailleurs des sentiments d’amour envers ma mère et de

exercice 1 1. a) Nous avons : pour tout nombre complexe non nul, , soit ou encore . De plus : arg() + arg() = arg(-1) + 2k Donc : arg() + arg() =+2k. 1. b) Puisque M1 appartient au cercle de centre O et de rayon 2, nous avons : , donc l'affixe z' de M'1 vérifie . Par conséquent, M'1 appartient au cercle de centre O et de rayon et, de plus, les points O, M1 et M'1 sont tels que . Soit N1 le point d'intersection de [OM1] avec le cercle de centre O et de rayon . Le point M'1 est le symétrique

d’introduire des notions de base n´cessaires tant en math´matiques que dans les autres disciplines scientifiques e e (physique, chimie, sciences industrielles. . . ). Certains de ces objets seront consid´r´s comme d´finitivement ee e acquis (nombres complexes, coniques, . . . ) et il n’y aura pas lieu de reprendre ensuite leur ´tude dans le cours e de math´matiques ; d’autres, au contraire, seront revus plus tard dans un cadre plus g´n´ral ou dans une e e e pr´sentation plus th´orique (groupes, produit

approchée de α, arrondie au centième. 3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[. Partie B On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : ln x x2 On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogonal (O ; ı ;  ). f (x) = 2x − 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. 2. Démontrer que la courbe C admet pour asymptote oblique la droite ∆ d’équation y = 2x. Étudier la position relative de la courbe C et

1 La fonction exponentielle complexe xn est convergente. n! zn Théorème 23.1 Pour tout nombre complexe z la série est convergente. n! On note f (z) la somme de cette série pour z ∈ C. Lemme 23.1 Pour tout réel x ≥ 0 la série Théorème 23.2 1. Pour tous nombres complexes λ et µ on a f (λ) f (µ) = f (λ + µ) avec f (0) = 1. 2. La restriction de f à R coïncide avec la fonction exponentielle réelle. Pour cette raison, on note, pour tout nombre complexe z, ez la somme de la série qui

les candidats Partie A Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne par C 1 la courbe représentative de la fonction f 1 définie sur R par : f 1 (x) = x + e−x 1. Justifier que C 1 passe par le point A de coordonnées (0, 1). 2. Déterminer le tableau de variation de la fonction f 1 . On précisera les limites de f 1 en +∞ et en −∞. Partie B L’objet de cette partie est d’étudier la suite (I n ) définie sur N par : I n = 1 0 x + e−nx dx. → − → − 1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé O

Chapitre 1 LES NOMBRES COMPLEXES 1.1 Introduction Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopi´e, nous utiliserons les symboles suivants : 1. Symboles ensemblistes • ∈ : appartenance ; si E est un ensemble, x ∈ E se lit : “x appartient a` E”. • ⊂ : inclusion ; si E et F sont deux ensembles, F ⊂ E se lit : ”F est inclus dans E” ; il ne faut pas confondre ce symbole et le pr´ec´edent, le symbole d’inclusion sert uniquement a` comparer des ensembles ; ainsi la propri´et´e x ∈ E s’´ecrit