Plan complexe

qu’il ne pleuve pas est égale à : 9 27 3 27 a. a. a. a. 10 40 4 28 1 ; s’il ne pleut pas, 10 E XERCICE 2 On considère la fonction f définie sur R par 1 f (x) = ln 1 + e−x + x. 3 8 points La courbe (C ) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Partie A 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. 1 b. Montrer que la droite (D) d’équation y = x est asymptote à

cocycliques (on prend bien sˆr u les points d’intersection autres que les sommets du pentagone int´rieur). e Cette propri´t´, en apparence assez myst´rieuse, s’inscrit dans un cadre bien ee e plus g´n´ral : ` un nombre n quelconque de droites du plan, on associe un point e e a ou un cercle selon la parit´ de n. Tous ces r´sultats de g´om´trie classique e e e e sont dˆs au g´om`tre anglais William Kingdon Clifford (voir [4] pour la preuve u e e originale), et d´montr´s de mani`re accessible dans

Géométrie Chapitre 1 : Nombres complexes 1) Introduction L’objectif est l’introduction d’un nouvel ensemble de nombres (en fait on étend encore l’ensemble des nombres, au-delà des réels) pour résoudre une préoccupation importante. Certaines équations du second degré, comme par exemple , n’ont pas de solution dans . On introduit alors un nombre noté i tel que « i » pour « imaginaire » opposée à « réel » Les nombres complexes vont être obtenus comme toutes les sommes , lorsque et

NOMBRES COMPLEXES Au début du XVIème siècle, le mathématicien Scipione dal Ferro, propose une formule donnant une solution de l'équation du 3ème degré x 3 + px = q : x= 3 q - q 2 + 4 p3 27 + 2 3 q + q 2 + 4 p 3 27 2 A la fin du XVIème siècle, le mathématicien Bombelli applique cette formule à l'équation x 3 - 15x = 4. Il obtient littéralement : x= 3 2 - 11 -1 + 2 + 11 -1 -1 . 3 Cette écriture n'a, a priori, pas de sens puisqu'on ne sait pas ce que représente le symbole

Inégalités, Bornes . . . . . . . . . . . . . 7.2. Partie entières . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Formule du Binôme . . . . . . . . . . . . 8. Nombres Complexes 8.1. Nombres Complexes . . . . . . 8.2. Inégalité triangulaire . . . . . . 8.3. Groupe des unités . . . . . . . . 8.4. Racines d’un nombre complexe 8.5. Géométrie du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16. Espaces Préhilbertiens Réels et Euclidiens 16.1. Produit scalaire . . . . . . . .

programmes moteurs généralisés. | Le courant des systèmes dynamiques non linéaires | Cette théorie étudie les comportements qui évoluent dans le temps. Elle adopte un point de vue différent, elle postule que le comportement d'un système complexe émerge de l'interaction des contraintes (liées à la tâche, à l'organisme, l'environnement) qui pèsent sur lui par un processus d'auto-organisation (exemple de la termitière). Par contrainte, on entend, « tout facteur susceptible de limiter les degrés

fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. EXERCICE 1 (4 points) Le plan est muni d'un repère orthogonal (0; , J). On considère l'équation différentielle (E) sui­ vante : 4y" = -y où y désigne une fonction de la variable réelle .7.: définie et deux fois dérivable sur R et où y" désigne sa dérivée seconde. 1.

MATHEMATIQUES SERIE : C Cette épreuve comporte 3 pages numérotées 1/3,2/3 et 3/3 . La durée de l’épreuve est de 4 heures. EXERCICE 1 Dans le plan orienté, on considère un triangle OAB de sens direct rectangle et isocèle en O. On note rA et rB les rotations de centres respectifs A et B et de même angle π et SO la symétrie 2 de centre O. Soit C un point du plan n’appartenant pas à la droite (AB). 1) Construire les carrés de sens direct CBED et ACFG. 2) a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques

est la fonction nulle. Soit A et B deux évènements d’une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 et P(A∪B) = 0,7. d) A et B sont incompatibles. Exercice n°2 Bases en Géométrie.   Pour le a) et b), on se place dans le plan complexe ( O; u , v ) .   Les questions a) et b) sont indépendantes. 2π 2π  2π  −6  cos [2 ] . π a) Si z = + i sin  alors arg( z ) = 3 3 3   b) Si M est un point d’affixe z de partie imaginaire non nulle et M’ un point d’affixe z

Sit (an ) une suite de nombres complexes, la série entière de la variable complexe z associée à la suite notée : (an ) est la série de fonction de C dans C an z n Lemme : Soit une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 ) est bornée, alors pour tout nombre complexe z, an z n = O(| zz0 |n ) an z n Théorème : lemme d'Abel Soit an z n une série entière et z0 un nombre complexe non nul. Si la suite n (an z0 )