Normal distribution

....................................................................................................................................................... Chapitre 6 Estimation Sommaire 1. Introduction…………………………………………………………………………….…3 2. Distribution d’échantillonnage…………………………………………….....4 2.1. Définition…..………………………………………………………….……………………………...4 2.1.1. Approche empirique………………………………………………..…………….4 2.1.2. Approche théorique …………………………………………………………….5 2.2. Loi de probabilité de la moyenne………………

Estimation de la variance d'une distribution Variance empirique Soit {x1, x2, ..., xn} un échantillon de n observations issu d'une distribution de probabilité. Suivant le même schéma de pensée que précédemment, nous définissons s², la variance empirique ("empirique" voulant dire "de l'échantillon"), comme la moyenne des carrés des différences entre les valeurs des observations et la moyenne de l'échantillon. s ² = 1/n. i(xi - )² i = 1, 2, ..., n Nous laissons au lecteur

indépendantes et de même loi de moyenne m et d'écart-type s alors la variable aléatoire suit approximativement une loi normale N (m, ) 2 Loi d'échantillonnage Problème : Etude du lien entre les caractéristiques d'une population et celle d'un échantillon de cette population. Dans cette partie on suppose la population connue et l'on étudie les échantillons. 2.1 Distribution d'échantillonnage des moyennes L'effectif de la population étudiée est N, sa moyenne est m et son écart-type s.

e 1.2.1 Espaces et axiomes . . . . . . . 1.2.2 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 1.2.3 Probabilit´ conditionnelle . . . e 1.3 Variables al´atoires . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Fonction de distribution . . . . 1.3.2 Distribution Normale . . . . . . 1.3.3 Autres distributions . . . . . . . 1.3.4 Distributions multivari´es . . . e 1.3.5 Moments . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Estimateurs . . . . . . . . . . . 1.4 Approximations asymptotiques . . . . 1.4.1 Motivations . . . . . . . . . . . 1.4.2 D´finitions

VaR: la perte potentielle maximale d’un portefeuille dont le rendement suit une loi donnée, pour une probabilité fixée sur une période de détention donnée. Exemple:  Exemple concret:  Valeur du portefeuille 100Meuro Rendement suivant la loi normale N(0,1) Risque de 1% sur 10 jours   VaR=2.57*1%*100=2.57 Value At Risk        Introduction Un peu d’histoire Présentation de la Value At Risk Méthodes de calcul de la VaR (VaR) Comparaison des différentes méthodes Limites de la Var

présenté également des méthodes plus particulières, à usage pédagogique. I. La fonction ALEA On peut simuler l’expérience avec Excel grâce à la fonction ALEA. Vérifions le en recopiant la formule =ALEA() sur 1000 cellules puis en représentant la distribution des valeurs obtenues par un nuage de points. Les valeurs de la série changent quand on relance les calculs (touche fonction F9) mais elles se répartissent toujours de manière apparemment indépendante et uniforme entre 0 et 1. II. L’utilitaire

hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6 • Lois de probabilité continues 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Généralités Loi uniforme Loi exponentielle Loi gamma Lois bêta de types I et II Loi de Laplace-Gauss ou loi normale Loi log-normale 7 • Convolution. Fonctions caractéristiques. Convergences stochastiques 7.1 IV Convolution 45 46 49 49 52 54 56 57 58 59 67 67 69 70 71 77 80 83 84 87 89 89 90 92 95 97 100 109 112 112 7.2 7.3 7.4 7.5 Fonction caractéristique Convergence

aléatoires discrètes Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs aléatoires gaussiens 27 33 37 44 48 56 62 68 72 80 85 90 97 99 105 Mathématiques L1/L2 : statistiques et

RAPPEL DES PRINCIPALES LOIS DE DISTRIBUTIONS DE PROBABILITES 1. Loi Binomiale B(n,p) Il s’agit en fait de la somme de n variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi , de même paramètre p.  avec   Somme de lois binomiales. Soient deux variables aléatoires indépendantes: qui suit , et qui suit . La V.A. définie par suit une loi . 2. Loi de Poisson P() On appelle variable aléatoire de Poisson une variable aléatoire discrète X pouvant prendre

étudiants est importante, on peut supposer que la distribution suit la loi normale (loi de Gauss). En effet la consommation de chocolat varie selon les individus : quelques personnes ont une consommation nulle, ou très faible et au contraire quelques personnes trop gourmandes mangent toute une plaquette, et la majorité des individus auront une consommation plus raisonnable… Donc les échantillons suivent une distribution normale, c’est à dire un distribution « en forme de cloche ». Si ma variable suit la