Normal distribution

Mallet, Morice 2011 - 2012 Sommaire 63 63 63 63 66 67 67 67 67 70 70 71 71 72 73 73 73 74 75 75 77 77 78 78 79 80 81 81 81 82 82 83 84 84 84 85 85 87 Chapitre 7 : Exemples de distributions 7.1 Lois discrètes 7.1.1 Loi de Bernoulli 7.1.2 Loi binomiale 7.1.3 Loi de Poisson 7.2 Lois continues 7.2.1 Loi normale 7.2.1.1 Définition 7.2.1.2 Propriétés 7.2.2 Loi du χ2 (chi-2) 7.2.2.1 Définition 7.2.2.2 Propriétés 7.2.3 Loi de Student (hors programme) 7.2.4 Loi exponentielle (hors programme) 7.3

OBJECTIFS SPÉCIFIQUES EN TERMES DE SAVOIRS En probabilité :     Identifier et manipuler les variable aléatoires; Reconnaître les distributions de probabilités discrètes et continues ; Définir et expliquer les espérances et les variances; Définir et expliquer les lois d'usage courant (binomiale, normale, ...). En statistique :    Reconnaître les principales distributions d'échantillonnages; Définir et expliquer les notions d’intervalles de confiance; Définir et expliquer les notions de tests d'hypothèses

Utiliser les méthodes statistiques afin de déterminer les périodes de retour de débits ou inversement . Utiliser les différentes lois de distribution de probabilité , et approcher ainsi une partie des problème hydrologiques par les méthodes statistiques. Exercice 1 : Déterminons le débit de la période de retour de 20 ans et de 100 ans en utilisant la distribution de Gumbel : Pour ceci on utilise la relation Avec le K calculé à partir de la relation : Donc pour une période de retour de 20 ans

La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . 3 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lois continues dérivant de la loi normale . . . . . . . . . 4.1 La loi du Chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 La loi de Fisher-Snédécor . . . . . . . . .

Fonction de probabilité f(x) = P[X = x] où f(x) ≥ 0 et f(x) = 1 DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS DISCRÈTES P[X≤n] = P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n] P[X≥n] = P[X≤n-1] = 1-{P[X=0] + P[X=1]+ … + P[X=n-1] Probabilité uniforme f(x) = 1/n n = nb de valeurs que peut prendre x Espérance = moyenne E(x) = µ =  x.f(x) Variance Var(x) = 2 =  (x-µ)2.f(x) Loi binomiale f(x) = (■(n@x)) px (1-p)n-x µ = np 2 = np(1-p) n = nb de tirages p = probabilité de succès à chaque tirage x = nb de succès

[BS-moyenne] / écart-type  En déduire la probabilité de la distribution normale P = f(μ) par Excel : « LOI.NORMALE.STANDARD (valeur Z) »  Calculer la différence entre la fréquence cumulée et la probabilité espérée : P - N’(Xi) et définir le plus grand écart en valeur absolue.  Comparer cet écart avec les valeurs tabulées de Miller-Owen. H0 : Ecart ≤ M-O H1 : Ecart > M-O  loi normale correcte : non significatif  ne colle pas à la distribution normale : significatif Le problème qui se pose dans notre

Jt-2— La moyenne ( notée x ; x = — ) est une caractéristique n qui prend compte de toutes les données observées . Elle est utilisée dans beaucoup d'applications (estimations , tests statistiques ) et est sensible aux valeurs extrêmes . Pour une distribution en classe on a :x = J / ^ i =— » où f- xi est le centre de la classe i On simplifie parfois le calcul en faisant un changement de variable . On introduit une variable : > ■i X- ~~' x 'k-2 ^*-l Fig. 1-2 2-Caractérlstiques

Ajustements à différentes lois de probabilité connues………………..….6 3.3.1. Ajustement à une loi binomiale …………..…………….…………………….6 3.3.2. Ajustement à une loi de poisson …………..………………………………...6 3.3.3. Ajustement à une loi normale …………..………………………………….….7 4. Test du χ2 d'égalité des distributions…………………………….………....8 4.1. Principe du test…………………………………………..……………………………………….……..8 4.2. Application et décision…………………………………………..………………………………..10 4.3. Cas particulier de la comparaison de deux fréquences…………………….

TABULE OU THEORIQUE CONCLUSION INTERPRETATION Estimation de la variance d'un échantillon ( ∑ xi ) ²  1  s² =  ∑ xi ² −  n −1  n    Test bilatéral Effectifs calculés ≥ 30 Test unilatéral droite Test unilatéral gauche - X suit une loi normale ou une autre loi - Variance connue ou non H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0 Conclusion : sur une différence ou une inégalité (à droite ou à gauche) significative ou non. Rejet de H0 ou non. Interprétation :

CHAPITRE II : DISTRIBUTION D’ECHANTILLONNAGE La théorie de l'échantillonnage permet, à partir des caractéristiques de la population mère, de déduire celles relatives aux échantillons qui en sont extraits. 1 Définitions La constitution d'un échantillon peut s'effectuer : — avec remise. L'élément prélevé, de la distribution ou population mère, est remis immédiatement avant que ne soit prélevé le suivant. L'élément choisi peut ainsi l'être une ou plusieurs fois. Dans ce cas, l'échantillonnage est