ds1-corrige.dviUniversité Denis Diderot MA4
Licence L2 – MASS 2005–2006
Corrigé du devoir surveillé no1
Exercice I
Soit q : R
3 → R la forme quadratique définie par la formule q(x, y, z) = x2 + 4xy + 6xz + 4y2 + 16yz + 9z2 .
1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée à q et sa matrice dans la base canonique.
La forme polaire de q est la forme bilinéaire f : R
3 × R
3 → R définie par f((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ + 2xy′ + 2x′y + 3xz′ + 3x′z + 4yy′ + 8yz′ + 8y′z + 9zz′ .
La …afficher plus de contenu…

En déduire le rang et la signature de q.
On applique l’algorithme de réduction de Gauß : q(x, y, z) = x2 + 4xy + 6xz + 4y2 + 16yz + 9z2
= (x + 2y + 3z)2 − (2y + 3z)2 + 4y2 + 16yz + 9z2
= (x + 2y + 3z)2 + 4yz
= (x + 2y + 3z)2 + (y + z)2 − (y − z)2 .
L’utilisation de cet algorithme justifie que l’on ait bien obtenu une combinaison linéaire de carrés de trois formes linéaires linéairement indépendantes. On en déduit que le rang de q est 3 (q est non-dégénérée) et que sa signature est (2, 1).
3) Déterminer une base B orthogonale pour q.
La réduction de Gauß obtenue à la question précédente a fait apparâıtre trois formes linéaires linéairement indépendantes ϕ1, ϕ2, et ϕ3 sur …afficher plus de contenu…

Comme Fλ et Rvλ sont deux sous-espaces vectoriels de R
3 de dimensions respectives 2 et 1, on a R
3 = Fλ ⊕ Rvλ si et seulement si Fλ ∩ Rvλ = {0}, c’est-à-dire si vλ 6∈ Fλ, c’est-à-dire si vλ n’est pas orthogonal à lui-même, autrement dit q(vλ) 6= 0. Le calcul donne q(vλ) = q(λ,−1, 1) = λ2 + 2λ − 3 = (λ + 1)2 − 4. On a (λ + 1)2 − 4 = 0 si et seulement si λ = 1 ou λ = −3. Par conséquent, on a R
3 = Fλ ⊕ Rvλ si et seulement si λ 6= 1 et λ 6= −3.
Exercice II
Soit Q la forme quadratique sur R
3 définie par
Q(x, y, z) = x2 − 2y2 − xy + zx − 2yz .
1) Déterminer le noyau de Q.
Pour déterminer le noyau de Q, écrivons la matrice M de Q dans la base canonique :
M =


1 − 1
2
1
2
− 1
2
−2 −1
1
2
−1 0