Matrice orthogonale

graphique Quelques transformations affines identité : u = 0, A = I , I est la matrice identité, translation : u est le vecteur de translation, A = I, [ ] [] [ ] [ ] [ ] 1 0 0 u=0 ; A= 0 1 0 0 0 1 1 0 0 a u= b ; A= 0 1 0 0 0 1 c mise à échelle a 0 0 u = 0, A est une matrice diagonale u=0 ; A= 0 b 0 dont les termes définissent les échelles 0 0 c selon les axes, rotation : u = 0, A est une matrice de rotation, cos  −sin  0 u=0 ; A= sin  cos  0 0 0 1 Communication

v 0 Si u ≠ 0 et v ≠ 0 , alors les trois points A, B et C sont distincts et définissent un plan et nous donnons quatre définitions du produit scalaire : → → → → → → Définition A1 Projection orthogonale C K Soit K le projeté orthogonal de B sur (AC) H le projeté orthogonal de C sur (AB) → → u . v = AB . AC = AB . AH = AK . AC → → → → → → A H B Définition A2 Normes et cosinus → → C → → → u . v = AB . AC = II AB II × II

est colinéaire à v√ (deux vecteurs dont l’un correspond au produit de l’autre par un scalaire sont colinéaires) ; – fvF est orienté dans le sens opposé à v√ . De plus, ʈ fvF ʈ ϭ kʈ v√ ʈ Ϸ 13,25 ϫ 9133,03 Ϸ 121 012,65 GN. • Calculer la projection orthogonale de fvF : – sur la droite perpendiculaire à l’axe de la navette ; Norme de la projection Ϸ ʈ fvF ʈ ϫ cos 16,86° Ϸ 115 811,08 GN – sur l’axe de la navette. Norme de la projection Ϸ ʈ fvF ʈ ϫ sin 16,86° Ϸ 35 097,8 GN 4500 m/s B Ϸ 121 012,65 GN Ϸ

vecteurs: u ; v ; u ’ et v ’ de E , ( u + v ).(’ u ’+’ v ’) = c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) = 4) Orthogonalité et produit scalaire: ; ( u + v )2 = ; ( u - v )2 = = u  0 ou v = 0 ou a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:    u  0 et v  0 et u, v   2  b) Propriété: i) Si u v Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs: u et v de

Mais cette d´emonstration, accessible `a certains ´el`eves de premi`ere, n’est ni la seule ni la meilleure. Si l’on appelle A la projection orthogonale de A sur (M N ), le th´eor`eme de Pythagore suffit pour ´ecrire AM 2 = AA 2 + A M 2 et AN 2 = AA 2 + A N 2 , d’o` u AM 2 − AN 2 = A M 2 − A N 2 . Si l’on appelle, donc, A , B et C les projections orthogonales respectivement de A, B, C sur (M N ), on a A M 2 − A N 2 = B N 2 − B N 2 = C M 2 − C N 2 , mais A , B et C 1 appartiennent tous trois `a la

représenté par la figure 3-1. L'ACP déterrnine le premier axe principal cornme étant celui par rapport auquel l'inertie du nuage de points est maximale. Le deuxiènæ axe est. panni les axes orthogonaux au précédent, celui par rapport auquel l' inertie du nuage de points est maximale. Les autres axes sont définis orthogonaux deux à deux sur le rnême critère de maximisation de l' merue. Montrons que la • statistique » de nuage des points. L'inertie In est Cinertie étant inv Simple entre l'ine Compléments

; ce qui nécessite le calcul de la matrice de passage de la base (A, B, C) à la base (P1, P2, P3). II.1 Matrice de passage et matrice de covariance La matrice de passage s’obtient par diagonalisation de la matrice de covariance C associée aux Np points [Escofier, 1990]. En effet, calculer la matrice de covariance revient à faire l’approximation que les Np points font partie d’un ellipsoïde à trois dimensions (Figure 3) ; en diagonalisant cette matrice, on obtient : les axes de cet ellipsoïde

tn−1 2 . . .     ,    b=  tn−1 m b1 b2 . . . bm         et x =   α0 α1 . . .    .  αn−1 Le polynome de moindres carrés est unique parce que Am×n est une matrice de Vandermonde avec n ≤ m, et donc rank(A) = n. 3 1.3 Résolution numérique des équations normales – instabilités d’une résolution directe par élimination de Gauss et même par factorisation de Cholesky – QR (Householder) et SVD factorisations

0,5 ; t=(1:0.5:10)’; 2. Créer une matrice A dont les colonnes sont t, t2 , t3 et t4 ; A=[t t.^2 t.^3 t.^4]; 3. Ajouter une colonne qui vaut 1 lorsque t > 5, 0 le reste du temps ; A(:,5)=t>5; 4. Ajouter une colonne qui vaut 5 lorsque t est entier, 0 le reste du temps. % l’une des trois lignes au choix A(:,6)=(fix(t)==t)*5; A(:,6)=(rem(t,1)==0)*5; A(:,6)=(mod(t,1)==0)*5; 3 Exercice 4 : 1. Créer une fonction t=matrace(A) : – qui calcule la trace d’une matrice A si A est carré ; – qui sort la valeur

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne