Matrice orthogonale

maths Niveau:MP 2009-2010 1. V´rifier que φ une forme lin´aire continue et calculer sa norme subordonn´e e e e 2. Montrer que |||φ||| n’est pas atteinte Exercice 7 : Soit A ∈ Mp (R). On suppose que la suite de matrices : An = I + A + A2 + · · · + An converge vers une matrice B. Montrer que I − A est inversible, et B = (I − A)−1 . Exercice 8 :On munit Mn (R) d’une norme subordonn´e||.|| , soit A, M ∈ (Mn (R))2 e 1 −1 1. Si||A|| < 1 alors In + A est inversible et ||(I + A) || 1 − ||A|| 1 2.

commutent si et seulement si a ∈ Kerψ et b ∈ Ker φ. En donner une caractérisation en fonction des hyperplans et des droites de t et de s. III Partie II 1. Soit u une involution de E. 1a. Montrer que Ker(u − id E ) ⊕ Ker(u + id E ) = E. 1b. Écrire la matrice de u dans une base adaptée à cette somme directe et en déduire det(u) en fonction de d = dim Ker(u − id). 1c. Montrer que Im(u + id E ) = Ker(u − id E ). On dit que u est une involution minimale si Ker(u − id E ) est de dimension 1. 2. 2a. Montrer

en analyse numérique Sébastien Charnoz & Adrian Daerr Université Paris 7 Denis Diderot CEA Saclay En analyse numérique, un certain nombre de calculs sont faits de manière répétitive. Exemple : Résoudre un système linéaire, Inverser une matrice, Calculer le déterminant, valeurs propres, vecteurs propres Interpoler une fonction Extrapoler une fonction Décomposer une fonction sur une base de fonctions (ex: TF) « fitter » des points de mesure avec des fonctions connues Etc… Des algorithmes

Produit scalaire 1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]

Rapport ISI: « dossier de validation des acquis » et « projection orthogonale » On a insérer un format prédéfini puis regardé les différente face d'une pièce et comment faire un projection orthogonale. On a aussi vue les dessin technique (la perspective en vue éclatée, le schéma et projection orthogonale). L'utilité du dessin technique pour le technicien doit pouvoir communiquer et comprendre celle de ses confrères _Activité 1: _Activité 2: « préserver sa santé » aérobie = presque

de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que où sont les racines du polynôme de Legendre de degré et où sont les poids de ces racines, qui sont tels que l'égalité. Les polynôme de Lengendre sont des polynômes orthogonaux sur l’intervalle ]-1,1 [ par rapport à la fonction poids w(x)=1. Ces polynômes de Legendre sont donnés par la formule de récurrence suivante: Lk+1(x)= ((2k+1)/(k+1))*x*Lk(x) – k/(k+1) * Lk-1(x) k=1,2,........ L0(x)=1,

ci-contre, on a : Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ? Le produit scalaire va apporter une réponse. Soit ABC un triangle. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Trois cas se présentent : Dans les trois cas, on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H : BC² = HB² + HC² Donc : 2 = AB² + AC² - (HB² + HC²) = AB² - HB² + AC² - HC² D'après

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

[a, b] appelée noyau de Peano associé à la méthode et définie par KN (t) = E x → (x − t)N + . 2. Montrer que si KN est de signe constant, alors il existe ξ ∈ [a, b] tel que : E(f ) = 1 f (N +1) (ξ)E(x → xN +1 ). (N + 1)! Exercice 3 (Polynômes orthogonaux et méthode de Gauss) [1] On se place dans le cadre du paragraphe 3. L’objectif de cet exercice est de prouver qu’il existe un unique choix des points xj et des coefficients λj tel que la méthode soit d’ordre N = 2l + 1. On commence par un rappel

v du plan. Lorsque l’on décompose, de façon unique, un vecteur w sous la forme : w = xu + yv , on dit que les nombres x et y sont les coordonnées du vec- ( ) teur w dans la base u , v . Lorsque que les vecteurs u et v sont non colinéaires, orthogonaux et de norme 1, on dit que la base u , v est orthonormée. ( ) 4 © Cned - Académie en ligne Séquence 10 – MA02 3. Équations cartésiennes de droite Propriété ( ) Dans un repère O ; i , j du plan, les vecteurs u (a ; b ) et v (c ; d ) ont la