Matrice orthogonale

M dont l’affixe z vérifie l’égalité |z − i | = |z + 1| est une droite. 2. Proposition 2 : Le nombre complexe 1 + i 3 4 est un nombre réel. H G 3. Soit ABC DE FG H un cube. E F Proposition 3 : Les droites (EC ) et (BG) sont orthogonales. C D A B → → → − − − 4. L’espace est muni d’un repère orthonormé O ; i , j , k . Soit le plan P d’équation cartésienne x + y + 3z + 4 = 0. On note S le point de coordonnées (1 , −2, −2). Proposition 4 : La droite qui passe par S

initial, de dimension n.p, FJ/I le tableau des profils en ligne (fréquences conditionnelles, conditionnées par les items en ligne) et FI/J celui des profils en colonne. DI désigne la matrice diagonale portant sur sa diagonale les totaux en ligne (ou totaux marginaux) et DJ celle des totaux en colonne. Les différentes matrices précédentes sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit

matriciel 3 1.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . 1.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . 1.3 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice . . . 1.3.2 Application pour déterminer l'inverse d'une carrée . . . . . . . . . . . . . . .

( x + y)   6 x + 3y = 0  b) M admet trois vecteurs propres linéairement indépendants : elle est donc diagonalisable. ou dim E − 3 + dim E 3 = 2 + 1 = 3 = dim þ 3 ; M est diagonalisable. ou M est une matrice carrée réelle symétrique, donc elle est diagonalisable. Il existe alors une matrice carrée inversible P d’ordre 3 telle que M = P D P −1 , avec 0 0 1 2 − 1 − 3  1 0 5      1  −1 D =  0 − 3 0  , P =  0 1 − 2  et P =  2 2 2 . 6  0 −1 2 0 3 1 1     1 −2  c)

truc matriciel très utile. Ainsi, on peut représenter ce modèle à l’aide des vecteurs 2x1 et d’une matrice 2x2 (notez l’astuce d’introduire yt−1 ) yt yt−1 = φ1 φ2 1 0 yt−1 yt−2 + ǫt 0 (7.5) Yt = ΦYt−1 + εt . Pour ne pas alourdir la notation, nous allons tout simplement utiliser yt = Φyt−1 + ǫt (7.6) (7.7) en sachant que yt , yt−1 et ǫt sont des vecteurs de dimension (2x1) et Φ est une matrice (2x2). À l’aide de cette reformulation, le modèle scalaire AR(2) peut être représenté comme un modèle

ALGEBRE LINEAIRE Fiche synthèse n°1 Matrices - Opérations * Nous rencontrons le calcul matriciel et les systèmes linéaires dans différentes disciplines : gestion, économie, recherche opérationnelle, statistique, programmation, optimisation, informatique, logistique, modélisation de situations économiques réelles etc.… * Une matrice peut être définie comme étant un tableau contenant n lignes et p colonnes. On repère généralement un élément d’une matrice par deux nombres donnés dans cet ordre :

Nationale LICENCE D’ÉCONOMIE ET DE GESTION Travaux Dirigés L2/S4 Année 2009/2010 Concepts mathématiques Matrice : On entend par matrice de format m x n à coefficients réels toute application : A : {1,2, …, m} x {1,2,…, n} → R Une matrice est donc une application dont le domaine de définition est très particulier. Pour cette raison et aussi pour des raisons de commodité d’écriture, on note aij l’image du couple i,j

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Exo7 Matrices Á Á Á Á Á Á Les matrices sont des tableaux de nombres. La résolution d’un certain nombre de problèmes d’algèbre linéaire se ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires. Dans ce chapitre, K désigne un corps. On peut penser à Q, R ou C. 1. Définition 1.1. Définition Définition 1 – – – – Une matrice A est un tableau rectangulaire d’éléments de K. Elle est dite de taille n £ p si le tableau possède n lignes et p

= A où  Opérations sur les matrices Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1   J =  ... (1) ...  ··· 1 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. 1 A= 0 0 Exercice 6 [ 03976 ] [correction] Soit A ∈ GLn (R) vérifiant 0 4 0  1 2  16 A + A−1 = In Pour k ∈ N, calculer Ak + A−k . Problèmes de commutation Exercice 2 [ 01248 ] [correction] Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de Mn (K) d’indices