Matrice orthogonale

Notion de matrice A est une matrice 3 x 3 car elle est composée de 3 lignes et de 3 colonnes (L x C). Ses composants sont les aij où i est le n° de ligne et j celui des colonnes. On peut utiliser les matrices pour résoudre des systèmes : On peut écrire, x1’= a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 x2’= a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 x3’= a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 II.Opération sur les matrice A/ Egalité 2 matrices A et B sont égales si pour tout i et j, on a : aij = bij. B/ Somme et différence Soit 2 matrices A et

multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n’existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degQ < degP

3 juillet 1995, sur la protection des droits d’auteur. Annexe A Exercice 1 ⎡ 1 3 3⎤ Pour les matrices A = ⎢ ⎥ et B = ⎣ 2 4 1⎦ ⎡2 4⎤ ⎢1 5 ⎥ , calculer AB, A′B′, et BA. ⎢ ⎥ ⎢6 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 22 10 ⎤ ⎡ 23 25⎤ ⎢ ⎥ AB = ⎢ ⎥ , BA = ⎢11 23 8 ⎥ ⎣14 30 ⎦ ⎢10 26 20 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡10 11 10 ⎤ A′B′ = (BA)′ = ⎢ 22 23 26 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢10 8 20 ⎥ ⎣ ⎦ Exercice 2 Prouver que tr(AB) = tr(BA) avec A et B deux matrices quelconques, non nécessairement carrées, pouvant être multipliées. Le i-ième élément de la diagonale

fonction nulle. b) Montrer que , définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire pour tout entier , ) de E n . Polynôme de meilleure approximation quadratique Dans toute la suite de la partie II., f désignera un élément de E et n un

__________________________________ Les échelles o Échelle de réduction o Échelle vraie grandeur o Échelle d’agrandissement La projection orthogonale Les lignes de base du dessin technique La cotation o Les lignes d’attache o Les lignes de cotes o Les cotes o Les lignes d’annotation Tracés géométriques Formes de représentation (Croquis, perspective, projection oblique o Projection orthogonale o Projection axonométrique Isométrique Oblique Perspective Standards et représentation (schémas et symboles) o

Travail présenté à M. Pascu École secondaire Mont-Royal Le jeudi 9 octobre 2014 Notre professeur de mathématique nous a donné à prouver la formule d’une distance d’un point et une droite,qui est , en utilisant la projection orthogonale, dont les coordonées du point sont (h,k) et la règle de la droite est Ax+By+C. (1) Hypothèse: Figure 1 Voir figure 1 On va nommer le point Q pour les coordonés (h,k) Les composentes

singulières µ i = λi avec λi les valeurs t propres (positives) de la matrice symétrique A - A . (?) Soit A une matrice carré quelconque n x n. Pour toutes normes de matrice induite, on a ρ ( A) ≤ A . Conditionnement d’une matrice inversible : Considérons un système linéaire AX=b. L'expérience de Wilson met un évidence une instabilité des calculs dans certains cas. Si l'on modifie sensiblement les paramètres de la matrice A, ou du second membre b, on peut trouver des résultats complètement

u ’ et v ’ de E , ( u + v ).(’ u ’+’ v ’) = c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) = 4) Orthogonalité et produit scalaire: ; ( u + v )2 = ; ( u - v )2 = = u  0 ou v = 0 ou a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:    u  0 et v  0 et u, v   2 v b) Propriété: i) Si u Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs:

La projection orthogonale à vues multiples La projection orthogonale à vues multiples Les projections orthogonales à vues multiples font partie des projections parallèles. On considère, dans ce type de dessin, que l’observateur est situé à l’infini. Les projetantes sont alors parallèles entre elles. Ces projections sont également orthogonales puisque les projetantes sont perpendiculaires au plan de projection. La projection orthogonale à vues multiples Un autre élément qui distingue les projections

claire rend possible l’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec l’alg`bre matricielle. Cette annexe e e est destin´e ` aider ceux qui esp`rent se rafraˆ e a e ıchir la m´moire et r´unir les e e r´sultats avec une plus grande facilit´. Les lecteurs devraient noter que le e e Chapitre 1 contient aussi un nombre utile de r´sultats sur les matrices, en e particulier ceux concernant les matrices de projection. Dans cette annexe, des preuves seront