Matrice nilpotente

. . . . . . . . . . . . . . . 9 Matrices réelles 9.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Matrices rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Addition des matrices . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Multiplication, à gauche, d’une matrice par un réel 9.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Transposée

c’est une famille libre (ou une famille génératrice) de n vecteurs dans un espace de dimension n. On peut aussi écrire la matrice constituée des coordonnées des vecteurs de la base mises en colonnes et montrer qu’elle est inversible. 9 3. Dimension d’un espace vectoriel La dimension d’un espace vectoriel E engendré par une famille de vecteurs est le rang de la matrice M représentant cette famille. Il faut donc déterminer une famille génératrice de l’espace. En effectuant un suite de transformations

Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques

ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants 2) Equations linéaires à coefficients non constants Annexe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 REDUCTION DE JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Surdiagonale de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrice élémentaire de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Matrice de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Composition de la surdiagonale base associée à une réduite de Jordan 1.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nécessaire, mais pas suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger. (§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas nécessaire, qu’elle soit symétrique. À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans l’ensemble de référence E, si on a A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors A ∪ B = {x | P (x)

. . . . . . . . . . . . . 3.7.3.1 Les valeurs propres λi de A sont distinctes . . . . . . 3.7.3.2 Les valeurs propres λi de A sont multiples . . . . . . 4 R´ ponse d’un mod` le d’´ tat e e e 4.1 Solution du syst` me autonome . . . . . . e 4.1.1 Matrice de transition d’´ tat . . . . e 4.1.2 Solution de l’´ quation homog` ne e e 4.2 Solution de l’´ quation d’´ tat compl` te . . e e e 4.3 Calcul de eAt . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 M´ thode des s´ ries . . . . . . . . e e 4.3.2 Par la transformation

1. Algèbre 1.1 Relations 1.2 Structures algébriques 1.3 Nombres entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12 17 22 26 2. Analyse 2.1 Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles

nécessaire, mais pas suffisant, que son terme général tende vers 0. En d’autres termes, si le terme général ne tend pas vers 0, alors la série ne converge pas, mais si le terme général tend vers 0, la série peut ne pas converger. (§ 6.2) Pour qu’une matrice soit diagonalisable, il est suffisant, mais pas nécessaire, qu’elle soit symétrique. À noter le lien avec le vocabulaire des ensembles. Avec A, B inclus dans l’ensemble de référence E, si on a A = {x|P (x)} ; B = {x | Q (x)}, alors A ∪ B = {x | P

[correction] Soit G le sous-groupe de GL2 (R) engendré par les deux matrices S et T suivantes : S= −1 0 0 1 1 ,T =√ 2 3 −1 1 1 1 Rappelons que c’est le plus petit sous-groupe de GL2 (R) contenant S et T . a) Avec le logiciel de calcul formel, créer les matrices S, T . Expliciter les éléments du groupe R engendré par la matrice R = ST et préciser le cardinal de ce sous-groupe de G. Quelles sont les matrices SR et R7 S ? b) Montrer que tout élément de G est soit une puissance