Matrice nilpotente

D´finition (El´ments nilpotents) e e Soit A un anneau non r´duit ` {0}. Soit a un ´l´ment non nul de A. e a ee On dit que a est nilpotent s’il existe un entier naturel n tel que an = 0. Avec ces notations, ∀ p ≥ n, ap = 0. Le plus petit entier n tel que an = 0 est appel´ indice de nilpotence de a. e Propri´t´s et exemples e e – Si a est nilpotent, alors a est un diviseur de 0. Il n’est donc pas inversible. – Si a et b commutent et sont nilpotents, a + b est nul ou nilpotent. – Soit (A, +

· · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) est une forme n-linéaire alternée de E 2. En déduire que pour tout (x1, x2, · · · , xn ) ∈ En n∑ k=1 detB (x1, · · · , xk−1,u(xk ), xk+1, · · · , xn ) = Tr(u)detB (x1, x2, · · · , xn ) I.4 Déterminant d'une matrice

M est inversible. Dans ce cas, M −1 est la matrice de u−1 dans B . soit injective donc il suffit que Ker u = {0}. (3.19) Lorsque dim E < ∞, pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il suffit que u soit surjective donc que rg (u) = dim E . (4.9) La matrice dans la base B de la famille F de p vecteurs de E est la matrice P dont la premi`re e colonne est constitu´e de la matrice colonne dans B du premier vecteur de F etc. e Matrices (4.10) Dans le contexte (4.9), lorsque dim

+ 1. Nous avons (a − 1)2 = 2, donc a admet un polynôme minimal et Πa /(X − 1)2 − 2. Si deg Πa = 1, alors Πa = X + α, avec α ∈ Q, or Πa (a) = 0 et donc a = −α ∈ Q, ce qui est impossible, donc Πa = (X − 1)2 − 2 = X2 − 2X − 1. 2. u un endomorphisme nilpotent d’indice p ; u p = 0 et u p−1 = 0, le polynôme minimal de u est donc Πu = X p . 3. a = 1 2 3 4 M2 (R) étant une R-algèbre. Montrons maintenant que dim K[a] = n, pour cela on vérifie que cette famille est libre. n−1 k=0 n−1 Soit (ak )0≤k≤n−1

. . . . . 1.1.1 Vecdjzdjkszjc ozkd zl zleteurs et combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Produit scalaire, norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ecriture matricielle d’une combinaison linéaire . . . . . 1.2.2 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Dépendance et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Exercices

185 185 185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . . . . .

185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . .

185 186 188 189 17 Matrices 17.1 D´finition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17.2 Matrice d’une application lin´aire relativement a deux bases e ` 17.3 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 L’alg`bre des matrices carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . e e 17.5 Matrices remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Matrices scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Matrices diagonales . . . . . .

que c’est une famille libre (ou une famille génératrice) de n vecteurs dans un espace de dimension n. On peut aussi écrire la matrice constituée des coordonnées des vecteurs de la base mises en colonnes et montrer qu’elle est inversible. 9 3. Dimension d’un espace vectoriel La dimension d’un espace vectoriel E engendré par une famille de vecteurs est le rang de la matrice M représentant cette famille. Il faut donc déterminer une famille génératrice de l’espace. En effectuant un suite de transformations

. . . . . . . . . Techniques de calcul Calcul de cos Trigonométrie π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Minimum d’une somme de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices, déterminant, nombres complexes, géométrie Cocyclicité dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres complexes, géométrie plane Fonctions usuelles 7 8 9 10 Autour d’une suite de fonctions . . . . .