Matrice nilpotente

vectoriels, applications linéaires et matrices 3.1 Espaces et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire .

Grands théorèmes . . . . . . . . 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . 2 Nombres premiers 2.1 Généralités . . . . . . . . 2.2 Décomposition . . . . . . 2.3 Petit théorème de Fermat 2.4 Exercices . . . . . . . . . 3 Matrices 3.1 Généralités . . . . . . 3.2 Opérations algébriques 3.3 Matrices carrées . . . 3.4 Exercices . . . . . . . 4 Modèles matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 326 18 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 2 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 3 Inverse d’une matrice : définition . . . . . . . . . . . . . . .

la structure des groupes finis; acquérir les éléments de la théorie des représentations des groupes, ainsi que les notions de groupes libres et de produits libres. Contenu : groupes finis, les théorèmes de Sylow, groupes résolubles, groupes nilpotents, extensions de groupes, groupes libres et produits libres de groupes, représentations linéaires des groupes finis, caractères, représentations de dimension un, représentations induites. Algèbre non commutative (3-0-6) MAT 736 Objectif :

commerciales © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053975-8 Table des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie

produit matriciel ordinaire, dans lequel la multiplication est remplacée par le produit de convolution. Dans ce cadre nous aurons la Proposition 1.4.2. Une matrice A (n × n) de convolution est inversible si et seulement si son déterminant ∆ est inversible au sens de la convolution dans D+ . Son inverse s’obtient en convolant ∆∗−1 par la matrices des cofacteurs. A titre d’exemple, reprenons l’exemple du second ordre décrit en (1.106), avec f = b u, b constant et u fonction de D+ désignant la commande

Montrer que T est nilpotent (c’est-à-dire qu’il existe d ∈ N tel que T d = 0). (II) Soit E = C[X] l’espace des polynômes complexes et notons pour P ∈ E, ∞ ||P|| = n=0 ||P(n) ||∞ (II.3) avec ||P||∞ = sup x∈[0,1] |P(x)| et P(n) la dérivée d’ordre n de P. Vérifier que ||P|| est bien une norme sur E. Soit T : E → E défini par T (P) = P , P ∈ E . Vérifier que T ∈ L(E). (i) Montrer que pour tout P ∈ E, il existe n ∈ N tel que P ∈ ker(T n ). (ii) Montrer que T n’est pas nilpotent. Expliquer ce résultat

scalaire usuel sur Q. Théorème 2.20 [22, Corollaries 10.6, 10.7] Soit g est une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée sur Qr . Si g est dans la classe de Witt de s ∈ Z → W (Q) alors r et s ont même parité et il existe une base de Qr dans laquelle la matrice de g s’écrit I r+s 2 0 0 −I r−s 2 . 20 CHAPITRE 2. QUELQUES INVARIANTS DE COBORDISME 2.3.2 Forme d’intersection Si (X, A) est une paire de Poincaré (rationnelle) orientée de dimension 4r, alors le cup-produit définit une forme bilinéaire

−1 ∩ (pik )−1 (ωik ) = ∩ (pik ◦ f )−1 (ωik ) k=1 k=1 et la continuit´ des composantes pik ◦ f impose que f −1 (O ) est un ouvert de e X contenant x. Ainsi f −1 (V ) ⊃ f −1 (O ) est un voisinage de x. EXEMPLE 1.7.8. Dans Mn (K) le produit des matrices d´finit une applie cation continue de Mn (K) × Mn (K) → Mn (K), K = R ou C. En effet pour (A, B) ∈ Mn (K) × Mn (K) les composantes du produit AB s’´crivent e n k=1 aik bkj . Il s’agit de sommes et de produits de fonctions continues puisque les composantes

v´rifie d’ailleurs pas l’in´galit´ triangulaire, comme le montre e e e l’exemple suivant : si u, v sont les endomorphismes de matrices et ua l’endomorphisme de matrice Mat(u) = 0 1 0 0 et Mat(v) = 0 0 1 0 , on a ρ(u) = ρ(v) = 0, mais ρ(u + v) = 1. D´monstration∗ . Une base de E ´tant fix´e, on peut identifier E ` Rm et u ` une e e e a a matrice A carr´e m × m. Observons d’abord que si (λ1 , . . . , λm ) est le spectre de e A, alors le spectre de Ap est (λp , . . . , λp