Matrice nilpotente

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e 

2008/2009 Le rôle des matrices dans la 3D Problématique : en quoi les matrices sont-elles indispensables à la réalisation d’images 3D ? HEI 1F / D1 Préface Notre but principal pour ce projet que nous nous étions fixés était de prendre un sujet en relation avec le programme scientifique de cette année et étant en classe de Spécialité Mathématiques, nous avons logiquement optés pour les Mathématiques. De ce fait, nous avons voté pour le premier chapitre et les matrices étant donné également

intéressons au choix des constituants élémentaires, c'est-à-dire à la nature physique des renforts et de la matrice, en nous focalisant essentiellement sur les composites "modernes" ; nous n'abordons donc pas le cas des multi-matériaux traditionnels ou naturels comme les bétons (armés ou non) ou les bois. Il est d'usage de classer les composites par la nature de leur matrice, pour deux raisons : la matrice assure toutes les fonctions autres que la tenue mécanique (voire, dans le cas des matériaux "à grande

∈ Mn (K) . Comme L (E) est de dimension n2 , on a dim (K [u]) ≤ n2 . On dénit de manière analogue la sous algèbre K [A] de Mn (K) engendrée par une matrice 435 436 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications On vérie facilement que si A ∈ Mn (K) est la matrice de u ∈ L (E) dans une base B, alors P (A) est la matrice de P (u) dans B. de P (u) . Dans le cas où K est algébriquement clos, on a : Théorème 17.1 Soit P ∈ K [X] . Pour toute valeur propre λ ∈ Sp (u)

vectoriel. Montrer que n est pair et qu'il existe une base (e1; : : :; en) ; (n = 2p) du R-espace vectoriel E tel que : 8j 2 Np ; u(ej ) = ej +p . Determiner la dimension de E sur C . 0 ?1 0 1 1 0 ?1 1 0 1 11. Soient A = @ 1 ?1 0 A et B = @ 0 ?1 1 A deux matrice reelles. 0 1 ?1 1 0 ?1 Soit V = Vect(A; B ). Montrer que V est un corps isomorphe a C . 12. Soit P 2 K n X ]; deg P = n. Soient a0; : : :; an n + 1 scalaires deux a deux distincts. Montrer que la famille : (P (X + ai)i2Nn est une base de K n X ].

e 8 9 Applications lin´aires e 1 u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F , E) sont tels que v ◦ u = idE . Prouver que F = Im(u) ⊕ ker(v). Que peut–on dire de u ◦ v ? X PC* 2001 Soit M ∈ Mn (R) avec rg(M) < n ; prouver que M est ´quivalente ` une matrice nilpotente. e a D´terminer les valeurs et vecteurs propres des endomorphismes de e E = Cn [X] : (1) ∆1 (P ) = P (2X + 1) (2) ∆2 (P ) = (X 2 − 1)D(P ) − nXP (3) ∆3 (P ) = P + P (jX) + P (j 2 X) (4) ∆4 (P ) est le reste de la division de X n P par (X −

. . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii xi 1 1 21 31 40 40 62 71 81 81 87 98 103 103 104 112 112 139 153 Chapitre 2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . .

2. A = ( 1 0 1 −1 ) , B = −1 1 0 0 1 −2  3. A =  1 2 1 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 5 0 0 0 2 −2 −1 0 0 0 1 −3 4 , B =  −1 −1 0 0 2 1 0 0 3 5 0 0 0 0 2 −4 0 0 5 −2 0 0 1 1  Indication. Noter que A et B sont des matrices diagonales par bloc. � Exercice 2. Représentation d’une application linéaire. Donner la représentation matricielle des applications linéaires sui- vantes dans les bases canoniques des espaces en jeu. 1. f : { R3 → R3 (x, y, z) 7→ (x +2y +3z,2y −

ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ³ Ð Ü ×Ø Ô ¾ Æ Ø Ð ÕÙ ¸ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Å ¾ ¸ ÅÔ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ ×ÓÙ×¹ ÖÓÙÔ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ×Ø Ò º   Á Á È , cela  ½ . Donc À½ À¾ º ÜÝ Ü ¾ À½ Ý ¾ À¾ Ò× ØØ ÕÙ ×Ø ÓÒ¸ ÓÒ ÓÒ× Ø ÓÒ × Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ× ´ µ º ÇÒ ÔÓ× ÙÜ ×ÓÙ×¹ ÖÓÙÔ × § ALGº¾½ (Matrices idempotentes) º žŠ´ µ Ô¾Æ ÇÒ ÔÓ× Ò ½µ ÜÑ µ et consi- ÆË ÔÓÙÖ ÕÙ À½ À¾ ×Ó Ø ÙÒ ×ÓÙ×¹ ÖÓÙÔ ÓÒÒ Ö ÙÒ ¦ Ð ¿¼℄ Ø À½ ¸ À¾ ÖÓÙÔ Æ ´ µ ËÓ Ø ÙÒ ÖÓÙÔ Ò ³ÓÖ Ö Ò¸ Ø Ñ Ð ÔÐÙ× Ô Ø Ø ÒØ Ö Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü ×Ø ÙÒ Ò Ò Ö ÒØ º ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ Ö ¾Ò º ËÓ Ø ØÓÙØ Ñ ØÖ