Matrice nilpotente

c des réels vérifiant a2 + b2 + c2 = 1 et P la matrice réelle 3 × 3 suivante :   2 a ab ac P = ab b2 bc ac bc c2 1. Calculer le déterminant de P. 2. Déterminer les sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement

projecteur p et un automorphisme g de E tel que f = g ◦ p. Correction [005598] Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E, ∃p ∈ N∗ tel que f p (x) = 0. Montrer que f est nilpotent. Correction [005599] Exercice 3 *** Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient f et g deux projecteurs distincts et non nuls de E tels qu’il existe deux complexes a et b tels que : f g − g f = a f + bg. 1. Montrer que si

d´signe un espace vectoriel sur R dont une base est B = (e1 , e2 , e3 , e4 ). e Soit u l’endomorphisme de E tel que la matrice de u par rapport ` cette base est : a   1 1 0 0 −1 −1 0 0  M = 0 0 −1 1  0 0 1 −1 1. D´terminer le rang de u et donner une base de Imu, une base de ker u en fonction e des vecteurs de la base B. 2. Calculer M 2 , M 3 et montrer que pour tout entier p matrice A telle que : M p = αp A. Expliciter alors M p . 3. (a) Donner une base, en fonction des vecteurs de la base B, de

(¡1)n. 3) Il faut et il su¢t que le terme dominant de Q soit (¡1)nXn : ² Si A existe on sait par le cours que le terme dominant du polynôme caractéristique est (¡1)nXn ² Réciproquement si le coe¢cient est (¡1)nXn le calcul précédent donne une matrice compagnon qui admet Q comme polynôme caractéristique en partant de P = (¡1nQ a) Les valeurs propres sont les racines de  qui se calcule par un déterminant; or le déterminant est invariant par transposition: det(tCp ¡ In) = det (Cp ¡ ¸In) b) on

SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ

Dn+1 . c. i/ • F est de dimension finie (n + 1) donc engendr´e par une famille finie F de polynˆ omes. Etant finie, F est incluse dans un sous espace Eq donc F ⊂ Eq . Dans ce cas D q+1 F = {0} donc l’endomorphisme induit de DF est nilpotent. DF est un endomorphisme nilpotent en dimension n + 1 donc D Fn+1 = 0 (pr´eliminaire question c) Alors Dn+1 (F ) = {0} donc F est inclus dans En et par l’´egalit´e de leur dimension : F = En. • Soit maintenant F un sous espace de dimension infinie. Alors F n’est

pour + L1 Maths - Info Algèbre 2008 Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe n ∈ N∗ tel que xn = 0. On peut montrer que ∀(x, y) ∈ A2 , ∀n ∈ N∗ , p (x + y) = k=0 p p k xk y p−k , où p k = p! . k! (p − k)! (a) Soient x et y deux éléments nilpotents de A. Montrer que x + y est nilpotent. (b) Soit x un élément nilpotent de A et soit y ∈ A. Montrer que xy est nilpotent. (c) Soit x ∈ A nilpotent. Montrer que 1 − x est inversible et déterminer son inverse. Exercice 12

commutent à tout élément de G. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G. Soit A un anneau. Un élément x ∈ A est dit nilpotent si xn = 0A pour un certain n ∈ N∗ . 1) Si A est intègre, montrer que 0A est le seul élément nilpotent de A. 2) Montrer que la somme et le produit de deux éléments nilpotents de A qui commutent sont encore nilpotents. 3) Pour tout x ∈ A nilpotent, montrer que 1A − x est inversible et déterminer (1A − x)−1 . ————————————– 11 Soit A un anneau. 1) On appelle

Problème : matrices «toutes-puissantes» Notations et objectifs Dans tout le texte, K désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp (K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par

SESSION 2002 E3A Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 3 MP Partie 0. Un exemple. 1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C). C(M) = Dn (C). 2. Donc immédiatement, dim(C(M))