[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Eléments d’algèbre générale
Relation d’équivalence
Exercice 1 [ 02643 ] [correction]
Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive et transitive.
On définit les nouvelles relations S et T par :

Enoncés

1

Exercice 5 [ 02985 ] [correction]
Soit (G, ×) un groupe et H un sous groupe de (G, ×).
On définit une relation binaire R sur G par : xRy ⇔ xy −1 ∈ H
Montrer que R est une relation d’équivalence et en décrire les classes d’équivalence. xSy ⇔ (xRy et yRx) et xT y ⇔ (xRy ou yRx)
Les relations S et T sont-elles des relations d’équivalences ?

Exercice 2 [ 02644 ] [correction]
Soit E un ensemble et A une partie de E.
On définit une relation R sur ℘(E) par :

Exercice 6 [ 03453 ] [correction]
Soit (G, .) un groupe de cardinal 2n.
a) Justifier que l’on définit une relation d’équivalence R sur G en posant xRy ⇔ x = y ou x = y −1
b) En déduire l’existence dans G d’un élément d’ordre 2.

XRY ⇔ X ∪ A = Y ∪ A
a) Montrer que R est une relation d’équivalence
b) Décrire la classe d’équivalence de X ∈ ℘(E)

Exercice 3 [ 02983 ] [correction]
On considère sur F(E, E) la relation binaire R définie par : f Rg ⇔ ∃ϕ ∈ S(E) telle que f ◦ ϕ = ϕ ◦ g

Exercice 7 X MP [ 03243 ] [correction]
Soit G un groupe multiplicatif de cardinal pα avec p premier et α ∈ N .
Montrer que
Z(G) = {1}

Groupes

a) Montrer que R est une relation d’équivalence.
b) Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée f ∈ S(E).

Exercice 8 [ 00113 ] [correction]
Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes ?

Exercice 4 [ 02984 ] [correction]
Soit R une relation binaire réflexive et transitive.
On définit une relation S par :

Exercice 9 [ 00114 ] [correction]
Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe (G, ).
A quelle condition l’ensemble H ∪ K est-il un sous-groupe de (G, ) ?

xSy ⇔ xRy et yRx
Montrer que S est une relation