Matrice nilpotente

réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1

S(t)A(0)S(t)−1. Montrer qu'il existe B : R→Mn(R) telle que A′(t) = A(t)B(t)−B(t)A(t), ∀ t ∈ R. 2. Soit B : R →Mn(R) continue telle que A′ = AB − BA. Monrer que A est semblable à B(0). Exercice 2. [ENS] ('18) Soient n > 1 un entier naturel, B ∈ Rn et A une matrice carrée réelle symétrique. On suppose que pour tout V ∈ Rn, tV AV > 0. On note S = {U ∈ Rn ; AU = B} et on suppose S 6= ∅. Soit X ′(t) = −AX(t) +B (1) On appelle solution de (1) toute fonctionX ∈ C 1([0,+∞[) qui véri�e (1). On note ‖·‖ la norme

13 : Endomorphismes nilpotents en dimension 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 14 : Matrices de projecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 15 : Majorations d’int´grales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 16 : Une suite d’int´grales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 17 : Expression int´grale de la limite des suites arithm´tico-g´om´triques. . . . . . e e e e Pb 18 : Matrice semblable ` son inverse

22 Existence et valeur de l’int´grale e 0 +∞ cos(nt) dt 1 + t2 TPE 23 Existence et calcul de π 2 0 1 dt 1 + tan2006 t 23 TPE 24 D´terminer l’adh´rence, l’int´rieur et la fronti`re du groupe sp´cial lin´aire SLn (R) ( ens des matrices de e e e e e e d´terminant 1). e TPE 25 π Ix = 0 ln(1 − 2x cos θ + x2 ) d θ e e a. D´terminer les valeurs de x pour lesquelles Ix est d´finie. b. Calculer Ix al’aide d’une somme de Riemann. c. Calculer I1 TPE 26 E = {f ∈ C 1 ([0

inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´ e e 97 25 D´veloppements limit´s e e 99 26 Int´grales : compl´ments

s´ries (sauf le calcul des sommes, on pourra cependant utiliser les d´veloppements usuels des fonctions e e classiques). 2. R´visions sur les calculs de d´veloppements limit´s ou asymptotiques. e e e 3. R´visions sur les espaces vectoriels (sauf, matrices et d´terminants). e e 4. Constructions de bases adapt´es a un probl`me. e ` e 9.4.2 Les exercices +∞ k=n+1 Exercice 9.4.83 Soit f une fonction convexe sur [0, +∞[, qui tend vers 0 en +∞, montrer que : (−1)k f (k) ≤ f (n) . 2 an converge

retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 261 261 263 266 268 14. Structures algébriques Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices IV 199 199 201 205 207 20. Matrices Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 275 275 278 284 287 Table des matières 21. Déterminants, systèmes linéaires Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

tableau augmenté, de   a si j ∈ [[1, p]] i,j terme général ti,j = . Ces  b si j = p + 1 i présentations simplifiées sont intéressantes pour le traitement informatique d'un système linéaire. Elle conduisent naturellement à l'utilisation de matrices. Solutions dans Rp d'un système linéaire. Si s désigne le système linéaire on note S(s) l'ensemble des solutions. S(s) est un sous-ensemble de Rp . Système linéaire homogène : les bi sont tous nuls. Dans le cas homogène, pour tout couple

retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 281 281 283 286 288 14. Structures algébriques Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices VI 203 203 205 209 211 20. Matrices Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 295 295 298 304 307 Table des matières 21. Déterminants, systèmes linéaires Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

d’Euler, quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 : Transformation de Legendre : continuit´, d´rivablit´, borne sup´rieure. . . . . . e e e e 5 : Irrationnalit´ de e. G´n´ralisation de la formule du binˆme avec un ´l´ment e e e o ee nilpotent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 : Nombres complexes et fonctions usuelles : autour de la formule de Machin. . . . 7 : Des suites de moyennes d´finies par r´currence. . . . . . . . . . . . . . . .