Math Sup

d´ fense et ordre e • sages ou chefs → direction ´e Pour placer les el´ ments de la soci´ t´ dans chaque classe ee ´ ˆ → SELECTION d` s le plus jeune age e ´ • education identique pour TOUS au d´ part e • pas de propri´ t´ personnelle pour la classe sup´ rieure ee e → communisme d’´ lite e • mise en commun des femmes et des enfants → pas d’oligarchie ´ La cit´ id´ ale est SAGE, COURAGEUSE et TEMPERANTE e e B. Aristote (384-322) ´ e El` ve de Platon, sa r´ flexion se distingue de celle de son maˆtre

qui vaut 1 si la tache i est r´ealis´ee avant la tˆache j et 0 si la tˆache j est r´ealis´ee avant la tˆache i. On va alors remplacer (2.5) par les contraintes suivantes ti + di ≤ tj + M (1 − xij ) tj + dj ≤ ti + M xij (2.6) avec M une borne sup´erieure sur la date de fin des travaux. V´erifions que ce syst`eme avec la contrainte suppl´ementaire que xij est binaire (0/1) exprime exactement la disjonction. Consid´erons d’abord le cas xij = 1. Le syst`eme (2.6) devient ti + di ≤ tj tj + dj

u 3x1 + 24x2 + 13x3 + 9x4 + 20x5 + 19x6 Pour composer le menu le moins cher, Ali cherche les valeurs de x1 , x2 , ..., x6 qui satisfont les in´galit`s pr´c´dentes et qui rendent la valeur du coˇt tr`s petite que possible. La formulation e e e e u e math´matique de ce probl`me de r´gime est donc : e e e Minimiser 3x1 + 24x2 + 13x3 + 9x4 + 20x5 + 19x6 Sous les contraintes :                    0 ≤ x1 ≤ 4 0 ≤ x2 ≤ 3 0 ≤ x3 ≤ 2 0 ≤ x4 ≤ 8 (0.1) 0 ≤ x5 ≤ 2     0 ≤ x6 ≤ 2.   

M´moire de DEA de Sciences Cognitives e Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales, Ecole Polytechnique, Universit´ de Paris VI, Ecole Normale Sup´rieure e e Dynamique et viabilit´ d’un r´seau adaptatif e e Cas des r´seaux neuronaux et sociaux e Camille Roth sous la direction de Paul Bourgine Centre de Recherche en Epist´mologie Appliqu´e, Ecole Polytechnique, Paris e e 2002 2 R´sum´ e e Ce m´moire propose d’´tudier l’apport de la th´orie de la viabilit´ ` la compr´hension de

Cours de Math´matiques e MPSI-2 Lyc´e Fermat e Alain Soyeur Table des mati`res e 1 Raisonnement, ensembles 1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cours de Math´matiques e MPSI-2 Lyc´e Fermat e Alain Soyeur Table des mati`res e 1 Raisonnement, ensembles 1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cours de Math´matiques e MPSI-2 Lyc´e Fermat e Alain Soyeur Table des mati`res e 1 Raisonnement, ensembles 1.1 Logique. . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.3 Applications . . . . . . . . . . 1.4 Familles . . . . . . . . . . . . 1.5 Relations . . . . . . . . . . . 1.5.1 Relation d’´quivalence e 1.5.2 Relation d’ordre . . . 1.6 Loi de composition interne . . 2 Les 2.1 2.2 2.3 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1999. P1 ˝ , Mathematica, Zutphen B 7 (1938), 1-2. [2] P. E RD OS : Über die Reihe p [3] L. E ULER : Introductio in Analysin Infinitorum, Tomus Primus, Lausanne 1748 ; Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 8. [4] H. F ÜRSTENBERG : On the infinitude of primes, Amer. Math. Monthly 62 (1955), 353. Le postulat de Bertrand Chapitre 2 Nous avons vu que la suite des nombres premiers 2, 3, 5, 7, . . . est infinie. Pour nous convaincre que la distance séparant deux nombres premiers consécutifs n’est pas bornée, considérons

write("Something" +""); document.write(str.sub()); document.write("Something".sub()); 6.5.11 variable.sup(); L'emploi de .sup() affichera la variable comme si elle était comprise entre les balises Html . . Les quatre instructions Javascript suivantes sont équivalentes : 11 str="Something"; document.write(""+str+""); document.write("Something"); document.write(str.sup()); document.write("Something".sup()); +6.6 Les instructions de formatage de document Rappelons tout d'abord que ce qui suit est optionnel et

r´partis sur trois sites ` Montbonnot, sur le campus e a universitaire de Grenoble ainsi qu’` l’Ecole Normale Sup´rieure de Lyon. L’INRIA Rhˆne-Alpes a ´ e o entreprend des recherches avanc´es dans le domaine des STIC en collaboration avec le CNRS, e l’institut IMAG et les ´tablissements r´gionaux d’enseignement sup´rieur : Institut National Poe e e ´ lytechnique de Grenoble (INPG), Ecole Normale Sup´rieure de Lyon (ENSL), Universit´s Joseph e e Fourier (UJF) et Pierre Mend`s-France (UPMF). Les th´matiques