Intervalle

déterminer à l’aide d’un algorithme un rang à partir duquel un est supérieur à A. Pour exprimer que un tend vers l quand n tend vers + , on dit que : « tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang ». Pour exprimer que un tend vers +  quand n tend vers + , on dit que : « tout intervalle de la forme ]A, + [ contient toutes les valeurs u n à partir d’un certain rang ». Comme en classe de Première, il est important de varier les approches et les outils

Exercices sur la dérivee I) Soit la fonction numérique f définie sur l’intervalle [– 1 ; 2,5] par f (x) = 2x² – 3x + 4. 1. Déterminer f ’(x), dérivée de f. 2. Etudier le signe de f ’(x). 3. donner le tableau de variation de f. 4. compléter le tableau de valeurs suivants : |X |-1 |0 |1 |1,5 |2 |2,5 | |F(x) |9 |4 |3

Exercice 1 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2x-3 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. 2. Etudier la continuité de f en -1 et en 3. 3. Etudier la dérivabilité de f en -1 et en 3. Donner une interprétation graphique des résultats. Exercice 2 Soit f la fonction définie par : fx=x2-2 si x<1x3-3x+1 si x>1a si x =1 1. Déterminer a pour que f soit continue en 1. 2. Etudier la dérivabilité de f en 1. 3. Etudier les variations

TES AP n°12 : Corrigé Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l’effet de la pollution sur une population d’insectes car ils craignent l’extinction de cette espèce. L’étude a été effectuée sur un échantillon de 25 000 insectes. Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre. Partie A : Une étude a permis de montrer que la population d’insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années. La population peut être modélisée par la fonction

Les fonctions usuelles (ou de références) On classe dans les fonctions de références la fonction affine, carrée, inverse, racine carrée, cube. La fonction affine Définition : Il s’agit de la fonction définie par ƒ(x) = ax+b appartenant à IR et a et b deux réels Ensemble de définition : ƒ est définie sur IR Représentation graphique  et tableau de variation avec a positif : Tableau de signes avec a positif : x -∞ ∞ ax+b

I Ensemble de dérivabilité d'une fonction Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |Fonction |Définie sur |Dérivable sur | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[[pic][ |][pic][ | |[pic] |[pic] |[pic] | | Si f est polynôme ? f dérivable sur[pic] Si f est rationnelle ? f dérivable sur son ensemble de définition II Calcul de dérivée Dérivées usuelles | |Opération sur les fonctions dérivables | |Fonction |Fonction dérivée | |Fonction |Fonction dérivée | |[pic] |[pic] | |U +

Gamme tempérée Fréquences des notes (en hertz) Fréquence de référence La fréquence du la3 est fixée à 440 Hz. Octaves Le rapport des fréquences de deux notes à l'octave est de 2. "Monter d'une octave" équivaut à "multiplier la fréquence par 2". Par exemple fréquence du la3 = 440 Hz; fréquence du la4 = 880 Hz; fréquence du la5 = 1760 Hz; etc. "Descendre d'une octave" équivaut à "diviser la fréquence par 2": fréquence du la2 = 220 Hz; fréquence du la1 = 110 Hz. Demi-tons La gamme tempérée

ESTIMATEURS, INTERVALLES DE ` CONFIANCE ET TESTS D’HYPOTHESES Paul Lescot 05 Mai 2009 1.Estimateurs ˆ Soit θ un param`tre (ou une fonction des param`tres) de la loi d’une variable e e al´atoire X (par exemple l’esp´rance ou la variance), et soit alors X1 ,...,Xn ,... une e e suite de variables al´atoires ind´pendantes et chacune de mˆme loi que X. On e e e ˆa cherche ` estimer θ ` partir d’un ´chantillon empirique. On appelle estimateur de a e ˆ θ une fonction θn = gn (X1 , ..., Xn ) des n

ordre croissant, puis en identifiant les points qui apparaissent plusieurs fois (on obtient une subdivision de [a, b] en q intervalles avec max{n, p} ≤ q ≤ n + p). Puisque σ1 ∪ σ2 est une subdivision plus fine que σ1 , on a : Sf1 De même, Sg 1 σ ∪σ2 σ ≤ Sf1 ≤ Sg 2 σ σ et Sσ1 ≤ Sσ1 ∪σ2 . f f Sσ2 ≤ Sσ1 ∪σ2 . g g (1) σ ∪σ2 et (2) De plus, sur un intervalle ]ck−1 , ck [ donné, on a : sup{ f (x) + g(x), x ∈ ]ck−1 , ck [} ≤ sup{ f (x), x ∈ ]ck−1 , ck [} + sup{g(x), x ∈ ]ck−1 ,

TD4 Estimation et intervalles de confiance Exercice 1 1. Les individus de l’étude sont des plants de pois à fleurs blanches. 2. Le caractère étudié est le nombre de fleurs par plant. C’est un caractère discret quanti- tatif. 3. C’est une fonction de l’échantillon aléatoire généralement noté θ̂ = f(X1, . . . , Xn). 4. Un estimateur non biaisé de la moyenne théorique µ est la moyenne empirique : X̄n = 1 n n∑ i=1 Xi L’estimation associée est : x̄n = 1 80(14 × 3 + · · · + 11 × 7) ≈ 4.96 5. Un estimateur