Intervalle

croissante sur [1 ; +¥[ et décroissante sur ]0 ; 1]. Qu'en est-il de g ? 2) Tracer les courbes représentant ¦ et g dans un même repère. 3) Préciser si ¦ est majorée, minorée, bornée ou non sur les intervalles suivants : [ 1 ; 3] ; [1 ; +¥[ et ]0 ; 1] 2 [On utilisera qu'une fonction monotone sur un intervalle [a ; b] est encadrée par ¦(a) et ¦(b)] Exercice 9 On considère la fonction ¦ définie par : (1 - x ) ¦(x) = 2 2 1 + x2 1. Déterminer son ensemble de définition. 2. Démontrer que ¦ est une fonction

I-3 : Donner les ensembles de définition sous forme d’intervalles des fonctions suivantes : f(x)= 1 ; x l(x)= 3− x g(x)= x3 −2x² +1 ; h (x ) = (2x+1)(3−7x ) 1 ; k(x)= 21 x +1 Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et R un repère du plan. On appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble de tous les points de coordonnées (x,y) où x est dans I et y = f(x). Exemple : Dans l’activité d’introduction, la courbe représentant f est une droite d’équation

f(x)     -1- où f est ici une fonction définie sur un ouvert U de à valeurs réelles. x est une solution sur I si, pour tout t de I, on a x(t) élément de U et, pour tout t de I, x'(t) = f(x(t)). Cette équation se résout facilement si I est un intervalle sur lequel f ne s'annule pas. En effet, elle est un cas particulier d'équations dites à variables séparables, où l'on peut isoler t dans un membre et x dans l'autre. On écrit en effet : dx x' dt = ou bien 1 = f(x) f(x) dx et on intégre les deux

u(x), et si : lim x!a u(x) = +1, alors lim x!a f (x) = +1 (Énoncé analogue pour −1) Démonstration : Dans le cas où a = +1(c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée.) On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l. La fonction u a pour limite l en +1 donc il existe un réel A tel que pour tout x 2]A; +1[ tous les nombres u(x) sont dans I. De même, pour la fonction v : On note B le réel tel que pour

r´elles d´finie dans un intervalle [a, b] de R. a e e On dit que f passe par un minimum (global ou absolu) en x lorsque x ∈ ˆ [a, b] =⇒ f (x) f (ˆ) ; ce minimum est strict lorsque x = x =⇒ f (x) > f (ˆ) ; x ˆ x et on dit que f passe par un minimum local en x lorsqu’il existe un voisinage ˆ V de x tel que x ∈ V =⇒ f (x) ˆ f (ˆ) ; ce minimum local est strict lorsque x x ∈ V \ {ˆ} =⇒ f (x) > f (ˆ). x x [Rappelons que dans R un voisinage V de x est un ensemble contenant un ˆ intervalle ouvert ]α, β[ contenantlui-mˆme

Construction Un accord est composé au minimum de 3 notes. L'accord de base est l'accord majeur composé de la tonalité, la tierce et la quinte (ex : Do – Mi – Sol). Pour d'autres types d'accords, il faut rajouter les notations ci-dessous. / Sib / La Note Intervalle Rôle / Si Do b9 “2 m © 11 “4 Mi Tierce Médiante aug 6 Fa Quarte 7 Maj 7 Sol Quinte b9 ©9 11 La Sixte Si Septième Sensible '9 Do Unisson / Octave Tonique Ré Seconde Sustonique SusSousDominante dominante dominante

+ Un-1) 2 SUITES GEOMETRIQUES Reel non nul q tel que Un+1 = qUn q= raison de la suite Sn = Uo ( 1-qn ) 1-q CONVERGENCE D UNE SUITE Suite de limite finie Une suite ( Un ) converge vers le nombre reel a si tout intervalle ouvert contenant a contient tout les termes de la suite a partir d un certain rang , ce que l on peut traduire par : lim | Un-a | = 0 N ->+inf Théorème des gendarmes Si il existe deux suites (vn) et (wn) de limite a telles

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors il existe au moins une fonction F dérivable sur I telle que f soit la dérivée de F sur I. On dit alors que F est une primitive de f sur I Définition Générale: F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et si pour tout x dans I, F '(x) = f (x). |Par exemple, si f est définie que IR par: f(x) = 2x, on remarque que la fonction F définie sur IR par F(x) = x² admet pour dérivée f. F est une primitive de f sur

Suites réelles Définition A) Généralités Soit E un ensemble. Soit K un intervalle de N (du type [pic] ou [pic]) non vide. Une suite d’éléments de E indexée par K est une application [pic]. L’ensemble des suites d’éléments de E indexées par K est noté [pic] (c’est aussi [pic]) Dans le cas où [pic], on parle de suites à valeurs réelles, ou suites réelles. Si [pic], on parle alors de suites complexes. Pour [pic], l’ensemble des valeurs de

dérivabilité en tant que fonction à valeurs dans I 2 . Nous devons donc préciser ces notions. R dans A. On dit que F est continue en t0 si F (t) tend vers F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . 1 Dénitions Soit t0 ∈ A, on suppose que t0 appartient à un intervalle ouvert contenu On dit que F est dérivable en t0 si le rapport F (t) − F (t0 ) tend vers une limite nie notée F (t0 ) lorsque t tend vers t0 . t − t0 Remarquons que lorsque F est dérivable en t0 , la limite F (t0 ) est en fait un vecteur