Intervalle

: Déterminer la fonction dérivée de la fonction f sur son intervalle de définition. Exercice n° 3-2 : On considère une fonction g définie et dérivable sur R par g(x)=−4x. Question : Déterminer la fonction dérivée de la fonction g sur son intervalle de définition. correction Exercice n° 3-3 : On considère une fonction h définie et dérivable sur R par g(x)=x4. Question : Déterminer la fonction dérivée de la fonction h sur son intervalle de définition. Exercice n° 3-4 : On considère une fonction k définie

•D´efinition : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b]. Le r´eel not´e b a f (x)dx est appell´e int´egrale de a `a b de f . •Signe de l’int´egrale : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I contenant les reels a et b tels que a≤b. - Si f est positive sur [a,b], ⇒ - Si f est n´egative sur [a,b], ⇒ b a f (x)dx ≥0 b a f (x)dx ≤0 •Int´egrale et Aire : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle [a,b] et soit (Cf ) sa courbe repr´esentative. Soit

est la fonction u + 5 . 1 - Soit v la fonction définie sur ⎤0;+∞ ⎡ par v(x) = +x. ⎦ ⎣ x Alors la fonction v − 3 est définie sur ⎤0;+∞ ⎡ par (v − 3)(x) = v(x) − 3 = ⎦ ⎣ 1 x + x−3 Propriété : Soit un réel k et une fonction monotone u définie sur intervalle I. Les fonctions u + k et u ont le même sens de variation sur I. Démonstration : - u est croissante sur I signifie que pour tout réel a et b de I tels que a < b, on a u(a) ≤ u(b) . On ajoute k au deux membres de l'égalité et on a : u(a) + k ≤ u(b)

DÉRIVATION Jean Chanzy Université de Paris-Sud ∗ 1 Nombre dérivé : 1.1 Dérivabilité en un point : On considère une fonction f définie sur un intervalle I ouvert, et trois réels a, h et x tels que a ∈ I, a + h ∈ I et x ∈ I. Définition 1.1. La fonction f est dite dérivable en a si le taux de variation de f de a à a + h, f (a + h) − f (a) , a une limite finie quand h tend vers 0, de sorte que h = 0. Si cette limite existe, on h l’appelle le nombre dérivé de f en a et on la note

() / III. Utilisation des dérivées 1. Sens de variation d'une fonction Théorème 3 Soit une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors : est croissante sur I ssi pour tout I, . est décroissante sur I ssi pour tout I, . est constante sur I ssi pour tout I, . Remarque : ce théorème n'est valable que sur un intervalle. Par exemple la fonction est décroissante sur et sur , mais pas sur . 2. Lien avec la notion de bijection Théorème 4 Soit une fonction

L’int´grale e 22 octobre 2009 ´ L’INTEGRALE DES FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX SUR UN INTERVALLE PC*2 22 octobre 2009 Introduction et conventions Dans tout ce cours, les lettres I, J d´signent des intervalles non r´duits e e a ` un point. Les fonctions consid´r´es sont ` valeurs dans K = R ou C. ee a Page 1/101 JP Barani L’int´grale e 22 octobre 2009 Page 2/101 JP Barani Table des mati`res e 1 L’int´grale des fonctions continues par morceaux sur un sege ment 1

démontrer que lim un = +∞ . n→+∞ 2°) Précision sur la limite d’une suite croissante majorée ou d’une suite décroissante minorée Démonstration avec la définition : Grâce à la propriété du paragraphe II, on peut dire que : Il faut démontrer que tout intervalle de la forme [ A ; + ∞[ (A ∈ R) contient tous les termes un à partir d’un - la limite d’une suite croissante majorée est un majorant de cette suite ; certain indice. - la limite d’une suite décroissante minorée est un minorant de cette suite.

fonctions y à valeurs dans Á ou Â. dy Il nous arrivera de rencontrer à la place de y' et nous pourrons avoir des équations de la forme dx 2 2xdx = y dy. Définition Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle φ(x,y,y',y",...,y(n)) = 0 sur un intervalle I de Á ou Á tout entier, c'est trouver toutes les fonctions f telles que : a. f soit n fois dérivable sur I b. ∀x∈I, φ(x,f(x),f'(x),f"(x),...,f(n)(x)) = 0 Une fonction qui vérifie les conditions (a) et (b) est appelée solution (ou intégrale) particulière

que ou égal (ou inférieur) – > : plus grand que (ou strictement supérieur) – : plus grand que ou égal (ou supérieur) 3 4. Les intervalles Dans ce cours, nous utiliserons les notations suivantes pour les intervalles : – Intervalle ouvert : x ∈]a, b[ ⇐⇒ a < x < b – Intervalle fermé : x ∈ [a, b] ⇐⇒ a x b – Intervalle semi-ouvert à droite : x ∈ [a, b[ ⇐⇒ a x < b – Intervalle semi-ouvert à gauche : x ∈]a, b] ⇐⇒ a < x b – Demi-droite ouverte à gauche : x ∈]a, +∞[ ⇐⇒ a < x – Demi-droite fermé à gauche :

php Fiche de mathématiques primitives Les primitives de I, . I. Définition Soit une fonction définie sur un intervalle I de . On appelle primitive de sur I toute fonction F dérivable sur I telle que, pour tout II. Propriétés Toute fonction définie et continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I et k un nombre réel. La fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k est encore une primitive