Intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . 505 20.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 20.1 Continuité uniforme 20.1 Chapitre 20 : Intégration Continuité uniforme Dans tout le chapitre I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point. La lettre K désigne indifféremment le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes. On rappelle que F(I, K) est l’ensemble des fonctions définies sur I et à valeurs dans K. Définition 20.1

N an  bn . _ n N an  an+1 et bn+1  bn . _ lim+(bn-an)=0 On peut aussi synthétiser cela en écrivant que les segments In=[an, bn] sont emboités les uns dans les autres ( n N In+1  In ) et que la longueur de ces intervalles tend vers 0. D’ailleurs, dans la pratique : _ Les vérifications des deux premières propriétés s’effectueront souvent en établissant par récurrence l’inclusion In+1  In . _ La convergence vers 0 de (bn-an) peut s’établir en justifiant

nombre de termes . 1−q II Limite d’une suite 1 Limite infinie Définition 4 On dit qu’une suite (u n ) admet pour limite +∞ si tout intervalle de la forme ]a; +∞[, où a est un réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors lim u n = +∞. n→+∞ On dit qu’une suite (u n ) admet pour limite −∞ si tout intervalle de la forme ] − ∞; b[, où b est un réel contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On écrit alors lim u n = −∞. n→+∞

décimale quand x < 0 ; par exemple E(−4, 3) = −5 . II Intervalles • Définition Pour a b, le segment, [a,b] est défini par : [a,b] = {x ∈ R ; a x b} . On utilise souvent la propriété : c ∈ [a,b] ⇐⇒ ∃t ∈ [0,1] c = ta + (1 − t)b . On définit de même les autres types d'intervalles : ]a,b[, [a,b[, ]a,b], ]a,+∞[, [a,+∞[, ] − ∞,b[, ] − ∞,b], ] − ∞,+∞[= R . • Propriété caractéristique • Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si : ∀a ∈ A ∀b ∈ A a < c < b ⇒ c ∈ A

toute autre lettre. Le symbole dt (ou dx) ne joue aucun rôle pour le moment, si ce n'est de préciser quelle est la variable. (1) (2) Cette hypothèse est indispensable pour définir l'intégrale d'une fonction en escalier. Un segment est un intervalle fermé borné. Calcul intégral. Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Premiers exemples : r r r r Rapportons le plan à un repère orthonormé (O ; i , j ) avec || i || = || j || = 1 cm. (Ainsi 1 u.a. correspond à 1 cm2) Cas

converge vers un réel ℓ. Ceci signifie que tout intervalle contenant ℓ contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. lim u n→+∞ n =ℓ (un )n∈ est convergente et converge vers ℓ. ∗ La suite (un )n∈ a pour limite +∞. Cela signifie que tout intervalle ouvert ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. La suite est divergente. ∗ La suite (un )n∈ a pour limite −∞. Ceci signifie que tout intervalle ouvert ]−∞; B[ contient tous les termes de la suite

(x + a)dx = F (x + a) + C, f (ax)dx = F (ax) + C. a Calcul de primitives Remarque : Savez-vous vérifier ce point ? Faîtes le. Nous avons déjà signalé le résultat central du calcul intégral : pour toute fonction continue f : I 7! R, où I est un intervalle ouvert, il existe une fonction dérivable F : I 7! R telle que F 0 = f . Une telle fonction F s’appelle une primitive de f . Deux primitives F1 et F2 de la même fonction f diffèrent d’une constante additive : la fonction F1 F2 est constante, et donc

Théoreme des valeurs intermédiaires : Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution

―> √x) Si f(x) =√x alors la dérivée de f sur ]0 , +∞[ est f'(x) = 1/(2√x). Dérivée et opérations. 1) Somme de deux fonctions. Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle R, alors (u+v)' = u'+v' 2) Produit de fonctions. Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle R, alors (uv)' = u'v + uv'. Remarque: avec k constante: (kv)' = kv'. 3) Quotient de deux fonctions. Si u et v sont deux fonctions dérivables sur R, avec v ≠ 0, alors (( u)/v)' = (u^'

lin´ eaires du premier ordre 9.1.1 Pr´ esentation du probl` eme Nous nous int´eressons `a la r´esolution des ´equations de la forme y + a(x)y = b(x). Dans cette ´equation, a et b sont des fonctions de x, d´efinies et continues sur un intervalle ouvert I de R. Par exemple y + y sin x = 2 sin x sur R. On cherche une fonction y de x, d´efinie et continˆ ument d´erivable sur I, qui v´erifie l’´egalit´e ci-dessus (o` u y est bien sˆ ur la d´eriv´ee de y). C’est une ´equation diff´erentielle