Homothétie de rapport positif

2012-2013

1. Définition.
Soit un point C et un nombre k tel que k  0
L’image d’un point M par l’homothétie de centre C et de rapport k est le point M’ tel que

CM '  k  CM
Remarque :
Puisque k  0 , M ' appartient à la demi-droite [CM) tel que CM’ = k x CM
On note : H  C , k  M

M'

Exemple :
Soit M’ l’image de M par H  C , 2 

Puisque CM’ = 2 CM, le point M est le milieu de [CM’].

2. Propriétés.
1. L’homothétie conserve l’alignement, les milieux, les angles, l’orthogonalité et le parallélisme.
2. Les longueurs ne sont pas conservées.

Par H  C ,3
A

A'

B

B'

 AB 

I.S.F.E.C.

or : AB  A' B ' . Donc [AB] et son image [A’B’] n’ont pas la même longueur.

 A ' B '

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3. Par contre les égalités de longueur sont conservées.

Les points A, B, D et E ayant pour images les points A’, B’, D’ et E’ par l’homothétie H  C , 2,5 .
Si AB = ED, alors A’B’ = E’D’
4. Dans une homothétie de rapport k, si A’ et B’ sont les images respectives des points A et B, alors A' B '  k  AB . (Évident en utilisant le théorème de Thalès)
5. Si k  1 , l’homothétie est un agrandissement.
6. Si k  1 , l’homothétie est une réduction .

3. Utilisation des propriétés pour construire une image par une homothétie. Se rappeler que :
1.
2.
3.
4.

Le centre de l’homothétie, un point et son image sont alignés.
Une droite et son image par une homothétie sont parallèles.
L’homothétie conserve l’alignement.
L’homothétie conserve le parallélisme et l’orthogonalité.

Exercice :
On donne le carré ABCD ci-dessous et le segment [A’B’].
On demande de construire A’B’C’D’ image de ABCD par une homothétie que l’on déterminera.

I.S.F.E.C.

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Les demi-droites [A’A) et [B’B) se coupent en O (centre de l’homothétie), puisque l’on sait que le centre de l’homothétie, un point et son image sont