Fraction rationnelle

THEME : RATIONNELS ET IRRATIONNELS IRRATIONALITE DE 2 Rationnels - Irrationnels Ensemble des nombres réels  Ensemble des nombres rationnels π 3  Ensemble des nombres décimaux  Ensemble des entiers naturels 2 − 2 12,57 0 1 2 13 457 25 −π 3 5 1+ 5 2 Nombres irrationnels : Nombres réels non rationnels 8 2 - 0,358  -1 − 8 2 -2 1 4 1 3 7 6 Ensemble des entiers relatifs  1 -6 29 15 − 3 7 Un nombre rationnel est un

2 π Nombres rationnels : c’est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous forme d’une fraction d’entiers relatifs. On le note Q (de l’italien quotiente) 1 16 Ex : 3 ; ; ; 2,5 3 -4 Remarque : un entier n pouvant s’écrire Attention ! 5 n est donc rationnel 1 2,23 n’est pas une fraction mais une écriture fractionnaire 5 Nombres irrationnels : c’est l’ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels ; que l’on ne peut donc pas écrire sous forme de fraction. On le note IR

fonctions au programme. Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006 17 Contenus Commentaires CompŽtences exigibles fonction de la forme : x a ax2 + bx + c c) Fonction "cube" : x a x3 d) Fonctions rationnelles : fonction inverse x a 1 x fonction de la forme : x a k x fonction de la forme : x a ax+ b cx e) Fonctions irrationnelles : fonction racine carrée. IV. ƒQUATIONS ET INƒQUATIONS. L’objectif général de cette partie sera de maîtriser

On aura donc intérêt à décomposer la fonctions à intégrer en briques élémentaires donc on pourra intégrer chaque élément. Dans cette catégorie, on a 4.2.1 Intégration des fractions rationnelles Nous avons vu que les fractions rationnelles se décomposent (sur R) en éléments simples. Pour intégrer une fraction rationnelle, il suffit donc de savoir intégrer les polynômes, ainsi 1 ↵x + que les fonctions (avec p 1), et (avec p 1). (x a)p (ax2 + bx + c)p Pour p = 1 Z dx = ln(x a) + C, x a et pour p 2

découverte des géométries non euclidiennes par Lobatchevski (1829), Bolyai (1832) et Riemann (1854), le géométrisme avait mauvaise presse. * Mise en place des fractions Depuis l'Antiquité la représentation d'une grandeur mesurable — par exemple une longueur ou une durée — a répondu à un besoin. La première réponse fut la construction des fractions (quotient de deux entiers positifs). Cette solution, mise en place très tôt chez les Sumériens et les Égyptiens, est finalement performante. Elle permet d'approcher

taux d'intérêt. 1/ Période La période est la durée unitaire choisie par les 2 parties contractantes. La période est généralement l'année parfois un diviseur de l'année : le semestre, le trimestre, le mois la quinzaine, ou même une fraction quelconque d'année. 2/ Taux d'intérêt Taux pour un relatif à la période choisie C'est l'intérêt pour une unité capital (une unité monétaire : 1€), pendant une période de placement Notation : i = taux pour 1 annuel = intérêt

grand segment est au plus petit. Si a et b sont en proportion d'extrême et de moyenne raison, alors le rapport a / b est constant, ce qui donne une nouvelle définition du nombre d'or : Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ. Egal à la fraction a / b. ◦la proportion d'or, peut être écrite de la manière suivante, obtenue en multipliant l'égalité par a / b : [pic] Cest à dire que φ est solution d'une équation du second degré qu’on peut aussi dire, Le nombre d'or est l'unique solution

[sin(t)] ⇡/4 = . 2 ⇡/4 4 Application : primitives de fractions rationnelles Les fractions rationnelles en x (quotients de deux polynˆomes) sont des fonctions dont on peut toujours calculer une primitive (en th´eorie du moins). L’outil fondamental est la d´ecomposition d’une fraction rationnelle en e´ l´ements simples, qui permet d’´ecrire une fraction rationnelle comme somme Application : primitives de fractions rationnelles 65 — d’un polynˆome, — d’´el´ements de premi`ere esp`ece

inconnues, tels nombres qu’on veut, ils admettent aussi plusieurs solutions. Cependant, comme d’un autre côté on ajoute ordinairement la condition que les nombres cherchés doivent être des nombres entiers et même positifs, ou du moins des nombres rationnels, le nombre de toutes les solutions possibles de ces questions se trouve borné par-là ; de sorte que souvent il n’y en a que très peu de possibles ; que d’autres fois il y en a une infinité, mais qui ne se présentent pas à l’esprit facilement ; que

• Il n’y a pas de plus grand élément Entiers relatifs Î • 0 est positif et négatif • n et –n appartiennent à Z Décimaux Ì • Un décimal se reconnaît par son écriture décimale finie • Tout décimal peut s’écrire comme fraction décimale Rationnels Í • Tout rationnel s’écrit q p p et q appartenant à Z (q ≠≠≠≠0) réels Ë • L’ensemble des réels se représente sur une droite Exercice 2. Préciser pour chacun des nombres suivants le plus petit ensemble ( É Ì Í Ë) auquel il appartient