Fraction rationnelle

(t) dt = f [ϕ (t)] ϕ (t) dt avec a = ϕ (α) et b = ϕ (β) α Int´gration d’une fraction rationnelle e 1. Le degr´ du num´rateur est-t-il strictement inf´rieur ` celui du d´nominateur ? e e e a e Si non, effectuer la division euclidienne du num´rateur par le d´nominateur. e e On est ramen´ alors ` la somme d’un polynˆme et d’une fraction rationnelle du type voulu. e a o 2. La fraction s’int`gre-t-elle imm´diatement ? e e u u 1 ou ou r = u .u−r si r = 1 C’est le cas

Exercices 191 à 218 2.6 LES FRACTIONS RATIONNELLES Considérons les quotients suivants: x−y x+y a2 − 1 a x2 + 2x + 1 . x−2 Les numérateurs et les dénominateurs sont des monômes ou des polynômes. Un quotient de polynômes s’appelle une fraction rationnelle. Remarques Si on remplace les variables par des nombres, il ne faut pas que le dénominateur devienne égal à zéro. 2.6.1 SIMPLIFICATION DE FRACTIONS RATIONNELLES Marche à suivre pour factoriser une fraction rationnelle : 1. FACTORISER le numérateur

connaissaient, comme rationnels, que les inverses d'entiers. Il s'agit de decomposer un rationnel de ] 0 ; 1 [ en une somme d'inverses d'entiers strictement croissants. Exemples : 5/8 = 1/2 + 1/8 7/11 = 1/2 + 1/11 + 1/22 Ecrire un module qui permet de décomposer un nombre rational de la forme n/d en une somme de nombres rationnels unitaires de la forme 1/m en utilisant le principe des fractions égyptiennes. Principe (applique sur un exemple): Convertir 19/20 en une fraction égyptienne. Etape 1

quotient d’un entier relatif et d’une puissance de 10 : d = L’ensemble de ces nombres est noté D a où a ∈ Z et n ∈ N. 10n 4) Les rationnels Définition : un rationnel est le quotient de deux entiers relatifs, c’est à dire l’ensemble des nombres de la forme et b ∈ Z, b = 0. L’ensemble de ces nombres est noté Q a avec a ∈ Z b Proposition : un nombre rationnel est caractérisé par le fait que son écriture décimale comporte une période. Exemple : 23 19 = 3, 285714285714. . . ; = 6, 3333

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.2 L'interface Comparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.3 La classe Entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.4 La classe Rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8.5 L'interface Comparator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.6 La classe Collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

. Exercice 7 - Une autre suite d’intégrales - L1/Math Sup Faire n intégrations par parties successives. Fractions rationnelles Exercice 8 - Fractions rationelles - Niveau 1 - L1/Math Sup 1. Commencer par faire apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur. 2. 3. Faire la division du numérateur par le dénominateur. 4. Écrire comme somme de a x+1 + b . (x+1)2 Exercice 9 - Fractions rationelles - Niveau 2 - L1/Math Sup - http://www.bibmath.net 1 Exercices - Calcul d’intégrales : indications

« actionnisme » plutôt qu'individualisme repose sur les éléments suivants : - « Expliquer un phénomène social, c'est souvent montrer qu'il peut être vu comme l'effet non voulu d'actions rationnelles » (R. Boudon, Effets pervers et ordre social, PUF - Quadrige, 1993). - Considérer que l'acteur social est rationnel, au sens où « il a de bonnes raisons de faire ce qu'il fait ou de croire ce qu'il croit ». - Pour comprendre les actions, il faut retrouver les motivations des acteurs et donc disposer d'un

« actionnisme » plutôt qu'individualisme repose sur les éléments suivants : - « Expliquer un phénomène social, c'est souvent montrer qu'il peut être vu comme l'effet non voulu d'actions rationnelles » (R. Boudon, Effets pervers et ordre social, PUF - Quadrige, 1993). - Considérer que l'acteur social est rationnel, au sens où « il a de bonnes raisons de faire ce qu'il fait ou de croire ce qu'il croit ». - Pour comprendre les actions, il faut retrouver les motivations des acteurs et donc disposer d'un

x(t)e−st dt X(s) = L(x) = 0 ´ ´ proprietes : ´ ´ – linearite : L(ax + by) = aL(x) + bL(y) ´ ´ ´ ´ – transforme les equations differentielles en equations algebriques : L(x ) = sL(x) − x(0) – transforme les exponentielles en fractions rationnelles : L plan tn −λt e n! 1 = (s + λ)n+1 Application x + 2zwx + w2 x = w2 u ⇒ s2 X + 2zwsX + w2 X = w2 U w2 X= 2 U 2 s + 2zws + w Recherche de solutions : ´ ˆ – trouver les racines du denominateur (poles) ´ ´ ´ ´

de la racine carrée de 2 Démonstration par l'absurde de l'irrationnalité de la racine carrée de 2 | Il n'existe pas de rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle. * Supposons qu'il existe un élément x = p/q de + ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) . on a : (p/q)² = 2 donc p² = 2 q² * Comme p² = 2q² on peut dire que p² est un multiple de 2 ou encore