Factorisation

de passer de la forme initiale ( ax 2bx c ) à la forme canonique. 5) Écrire 3 x 25 x – 1 sous forme canonique. N°3 : 6 points Soit le polynôme J  x=3 x 3 11 x2 – 67 x 21 . 1) Démontrer que 3 est une racine de J  x . 2) En déduire une factorisation de J  x sous la forme  x – 3 K x  où K  x est à déterminer. 3) Factoriser K  x puis en déduire que J  x=3 x – 1 x – 3 x7 . 4) Résoudre l'équation J  x=0 . 5) Faire le tableau de signes de 3 x – 1 x – 3 x 7 puis résoudre

reposent sur le fait qu’il n’existe aucun algorithme permettant la factorisation d’entiers en un temps raisonnable. L’existence d’un tel algorithme compromettrait donc la validit´e de ces cryptosyst`emes et potentiellement la s´ecurit´e informatique mondiale. Dans les ann´ees 70, il ´etait consid´er´e comme impossible de factoriser un simple nombre `a 20 chiffres. En 1980, grˆ ace ` a l’impl´ementation de l’algorithme de factorisation par fraction continue (CFRAC) par BrillhartMorrison, des nombres

On obtient : (3x – 2)² = 9x² – 12x + 4 Attention, le carré de 3x est 9x². _ Développer A = (2x – 3)(2x + 3) On applique la 3ème identité avec a = 2x et b = 3 A = (2x – 3)(2x + 3) = (2x)² - 3² = 4x² – 9 Attention, le carré de 2x est 4x². Factorisation Exemples: _ Factoriser A = x² + 6x + 9 On reconnaît une expression du type a² + 2ab + b² avec a = x et b = 3 Vérifions : a² = x² donc a = x b² = 9 donc b = 3 Donc on devrait avoir 2ab = 6x C'est le cas, on factorise: A = (x+3)² _ Factoriser B

ax2 +bx +c = 0 Signe de ax2 +bx +c 1) On connait la forme factorisée : Ex : f(x) = ( 2x+8)(-3x+7) a) Résoudre f(x) = 0 b) Etudier le signe de f(x) 2) On ne connait pas la forme factorisée On en déduit le signe de la factorisation on en déduit le signe de ax2 +bx +c il dépend du signe de a et du nombre de solution donc du signe de Δ Def : les solution d’une «équation s’appelle les racines 3) Exemple Résoudre l’équation f(x) = 0 pour faire le tableau de signe de

3t2 – +5 t 3 2 . Attention : cela ne marche pas si vous avez stocké une valeur dans la variable ! Dans ce cas il faut d'abord la réinitialiser en faisant Delvar x ou Delvar t (Delvar en mode anglais, Supvar en français). 3) Développement, factorisation de polynômes On peut factoriser un polynôme en utilisant factor(P(x),x) où P(x) est le polynôme en x (même chose en français ou en anglais). Utilisez cfactor (factorc en français) si vous travaillez en nombre complexes. Inversement, pour développer

2010 . Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Transformer Exercice 12 a. = Ceci permet de faire apparaître un facteur commun : b. On factorise (forme En remplaçant dans on obtient : = On obtient donc comme factorisation : = que l'on peut encore écrire = c. d. = . = = Math'x seconde © Éditions Didier 2010 = = Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Transformer Exercice 13 a. b. = est de la forme : = D'où

Px=ax2+bx1+ca Px=ax2+2bx2a+ca Px=ax2+2bx2a+b24a2-b24a2+ca Px=ax+b2a-b24a+ca) Px=ax+b2a2+-b2+4ac4a Où α=-b2a et β=-b2+4ac4a Le nombre b2+4ac s’appelle le discriminant du polynôme et se note ∆. De fait, α=-b2a ; β=-∆4a2 et ∆=b2-4ac. III. Racines et factorisation d’un polynôme du second degré Théorème 4 : Soit Px=ax2+bx+c et ∆ sont discriminant, a) Si ∆<0, alors Px n’admet pas de racines réels b) Si ∆=0, alors Px admet une seule racine en xS=-b2a et P(x) se factorise en Px=a(x-xS)2 c)

l’appréciation des copies. Exercice 1 (2 points) Restitution Organisée de connaissances (ROC) : 2  b  ∆  On rappelle que la forme canonique de f ( x) = ax 2 + bx + c est : f ( x) = a  x +  − 2. 2a  4a   En déduire la factorisation de f . Exercice 2 (3 points) Les deux questions sont indépendantes 1/ Soit la fonction f définie sur  par f ( x ) = 4 x 2 − 8 x − 5 . a) Déterminer la forme canonique puis la forme factorisée de f . b) En déduire les solutions de l’équation

C'est bien, c'est des maths. Pour plus d'application Il y a à peine quelques années, le problème de la sécurité des transmissions de données sem- blait être l’apanage des seuls militaires. Ce n’est plus le cas, avec l’essor des techniques numé- riques dans le commerce (Internet, les cartes de crédit, les télécommunications, les décodeurs de télévision, etc.) Les méthodes empiriques traditionnelles se sont révélées trop fragiles ; elles reposaient sou- vent sur le schéma suivant : on choisit un

différence par une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a - b)(a + b) = a² - b² Démontrons ce résultat : Par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a - b)(a + b) = a × a + a × b - b × a - b × b = a² - b² III. Factorisation Définition : Factoriser une somme ou une différence, c'est la transformer en un produit. 1. Reconnaître un facteur commun 2. Reconnaître une identité remarquable Exemples : Factorisons les expressions suivantes :