Factorisation

cryptographie classique, jusqu’à présent, le problème de transmission d’une clef secrète n’a pas encore de solution absolue. Pour résoudre ce problème, normalement, on utilise un système à clef publique, qui se base sur la difficulté mathématique de la factorisation d’un ___________________________ (1) - Principe d’incertitude d’Heicenberg : Plus on connaît avec précision la vitesse d'une particule, moins on connaît sa position dans l'espace, et réciproquement. (2) - SECOQC : development of a global network

on s’int´resse essentiellement ` la r´solution, e a e par des m´thodes it´ratives, d’un syst`me lin´aire e e e e Ax = b avec A ∈ Mn (K) inversible et b ∈ K n . Notons que la r´solution d’un tel syst`me par des m´thodes e e e directes (Gauss, factorisation LU , Cholesky, ...) a ´t´ vue en ee ANI et la r´solution par la m´thode de Householder est donn´e e e e au chapitre 5. Concernant les m´thodes it´ratives, les m´thodes de Jacobi et e e e de Gauss-Seidel ont ´t´ ´galement vues en ANI, mais vont

continue) et on retrouve la densité fθ (x) ou la mesure de comptage (variables aléatoires de loi discrète) et on retrouve le système Pθ (X = x). On note X l’échantillon (X1 , . . . , Xn ) issu du même modèle (X , Pθ ). Théorème 3.1.1 (Théorème de factorisation) Soit le modèle (X , Pθ ) et T une statistique (X n , Bn ) → (Y, C). T est exhaustive pour θ si et seulement s’il existe deux fonctions mesurables g : X → R+ et h : Y → R+ telles que f (x, θ) se met sous la forme f (x, θ) = h(x)g(T (x), θ) où x

l’ensemble solution S = − 2; 2 . d) x² + 3x –5 = 0 Ici, aucune factorisation évidente n’apparaît. On va donc utiliser la méthode générale basée sur le calcul du discriminant Δ. Δ = 3² – 4×1×(–5) = 9 + 20 = 29. Δ > 0 donc l’équation admet deux solutions x’ et x’’ : x′ = −3 − 29 −3 + 29 et x′′ = . 2 2 ⎪⎧ −3 − 29 −3 + 29 ⎪⎫ ; L’équation x² + 3x – 5 = 0 admet l’ensemble solution S = ⎨ ⎬. 2 2 ⎪⎩ ⎪⎭ e) x² + 2x – 8 = 0 Là non plus, aucune factorisation évidente n’apparaît. On va donc utiliser la méthode générale

environnements informatiques : Fonctionnalités Environnement général       Import de données     Gestion des ordres       Communication bancaire      Description Suivi des évènements. Gestion des ordres rejetés. Factorisation du référentiel (Rôles tiers, Règles génériques / gestion d'exceptions). Mise en suspend possible des remises. Traitement unitaire ou de masse. Edition automatique des courriers de confirmation bancaire des ordres. Import des moyens de paiement

environnements informatiques : Fonctionnalités Environnement général ? ? ? ? ? ? Import de données ? ? ? ? Gestion des ordres ? ? ? ? ? ? Communication bancaire ? ? ? ? ? Description ?Suivi des évènements. Gestion des ordres rejetés. Factorisation du référentiel (Rôles tiers, Règles génériques / gestion d'exceptions). Mise en suspend possible des remises. Traitement unitaire ou de masse. Edition automatique des courriers de confirmation bancaire des ordres. Import des moyens de paiement

A(x) – A(2), puis étudier son signe pour justifier que A(2) est le minimum de A. A(x) – A(2) = x2 + 16 – 12 x x3 – 12x + 16 . = x Il s’agit donc de déterminer le signe de x3 – 12x + 16 puisque x > 0. En utilisant le logiciel XCas, on obtient la factorisation suivante : x3 – 12x + 16 = (x – 2)2 (x + 4). Comme x > 0, alors x + 4 > 0 et (x – 2)2 0 et ainsi A(x) – A(2) 0. Ce qui prouve que A(x) A(2) et x = 2 est bien la valeur qui minimise la quantité de peinture à utiliser. 10 EXERCICES 1 2 a)

l'échantillon aléatoire conditionnellement T=t ne dépend pas de θ : Lθ ( x1 ,..., xn / T = t ) = k ( x1 ,..., xn / T = t ), ∀( x1 ,..., xn ) ∈ R n , ∀θ ∈ ϑ Propriété : Si T est exhaustive, alors I n (θ ) = IT (θ ) Caractérisation ( théorème de factorisation ) Une statistique T de loi g est dit exhaustive pour le paramètre θ ssi il θ R n → R telle que : existe une fonction k : Lθ ( x1 ,..., xn ) = gθ (t ) h( x1 ,..., xn ), ∀( x1 ,..., xn ) ∈ R n , ∀θ ∈ ϑ C-4 Statistique exhaustive Exemple

Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.3 Irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Racine(s) d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . 19.5.1 Factorisation dans C[X] . . . . . . . . . . . . . 19.5.2 Factorisation dans R[X] . . . . . . . . . . . . . 19.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.7 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Variables aléatoires

a une ou plusieurs solutions S. e e Chercher S est diff´rent de v´rifier si parmi toutes les propositions logiques s, e e s ∈ S. Prenons par exemple le cas de la factorisation d’un entier N . D´terminer l’ene semble des diviseurs premiers de N est diff´rent de v´rifier si une suite fini de e e nombres premiers correspond bien ` la factorisation de N . a 5.4.2 Classes de probl`mes e La classe P : C’est la classe des probl`mes pour lesquels il existent une solution e que l’on peut d´terminer int´gralement