Factorisation

. . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.2 Lecture de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.3 Calcul de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III Factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.1 Avec facteur commun évident . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.2 En faisant apparaître le facteur commun . . . . . . . . . . . .

A(2), puis étudier son signe pour justifier que A(2) est le minimum de A. A(x) – A(2) = x2 + 16 – 12 x x3 – 12x + 16 . = x Il s’agit donc de déterminer le signe de x3 – 12x + 16 puisque x > 0. En utilisant le logiciel XCas, on obtient la factorisation suivante : x3 – 12x + 16 = (x – 2)2 (x + 4). Comme x > 0, alors x + 4 > 0 et (x – 2)2 у 0 et ainsi A(x) – A(2) у 0. Ce qui prouve que A(x) у A(2) et x = 2 est bien la valeur qui minimise la quantité de peinture à utiliser. Application

de deux pseudo-´tats particuliers : e point de jonction point de choix La¨titia Matignon e ISI3 - 4. UML Diagrammes dynamiques 2012 45 / 72 Diagrammes d’´tats-transitions e Transitions composites Point de jonction Factorisation de l’´v´nement d´clencheur (ex. : validation) e e e Les gardes doivent ˆtre mutuellement exclusives pour que l’automate e soit d´terministe e Point de jonction est statique : gardes apr`s le point de jonction e ´valu´es avant que la transition

déduit que l'équation az + bz + c = 0 a deux solutions complexes qui sont : z1 = -b - i -∆ et z2 = -b + i -∆ 2a 2a Ces deux solutions sont des nombres complexes non réels, conjugués l'un de l'autre. La démonstration précédente fait apparaître la factorisation du trinôme az2 + bz + c sous la forme az2 + bz + c = a (z - z1)(z - z2). - Les nombres complexes - 6 / 6 - 

pour « négatif ». 2. Tableaux de signes Pour étudier le signe d’une quantité un peu compliquée, dans la plupart des cas, il suffit de la factoriser suffisamment pour faire apparaître des quantités plus simples dont on connaît le signe. La factorisation permet de faire ensuite un tableau de signes. Il en est de même quand la variable apparaît au dénominateur : on réduit au même dénominateur, puis on factorise, si besoin, le numérateur et le dénominateur ce qui permet de faire un tableau. ̈

dérivée afin que cet exercice ne paraisse plus aux élèves comme quelque chose d’insurmontable. Connaissances mobilisées : - Les formules et théorèmes permettant de déterminer la fonction dérivée d’une fonction polynôme ou rationnelle, - signe et factorisation d’un polynôme, - cette fiche peut être faite dès le début d’une classe de terminale ; une autre fiche a été élaborée avec des fonctions logarithmiques et exponentielles. Gestion : - La recherche des fonctions dérivées peut être faite à la maison

domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la preuve du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants. Contrairement à ce que son nom pourrait laisser croire, l'ellipse n'est pas une courbe elliptique. Le nom des courbes elliptiques vient historiquement de leur association avec les intégrales

prix d’un call que celui d’un put européen. Pour ce faire, nous nous servons de l’indicateur iopt. Si c’est un call, il prend la valeur +1 et si c’est un put, -1. Comme ici, nous calculons la valeur d’un call : iopt = 1 Nous recourons à la factorisation de Cholesky3 pour corréler les deux variables aléatoires. Les calculs sont effectués directement dans le chiffrier à partir de la fonction de Cholesky de Poptools. Au tableau 3, on retrouve la matrice de corrélation des deux variables aléatoires

O(C)}∪{0} joue, dans O(C), l’analogue des constantes dans C[z], dans le sens où il décrit l’ensemble des fonctions f vérifiant soit f = 0, soit Z(f) = ∅. On démontre cette égalité à l’aide du théorème des zéros isolés, du théorème de factorisation de Weiers- trass ([?], 15.9) et du logarithme complexe ([?], th. 13.11-h). Cette dernière égalité souligne14 Revue de la filière Mathématiques par ailleurs le caractère contraignant de la C-différentiabilité puisque l’on sait (théorème

ces fameux trinômes ! 7 Ahh ! C’est de là que ça vient ! 11 √ √ −b − ∆ −b + ∆ avec z1 = et z1 = , réelles tous les deux. 2a 2a • Si ∆ = 0, la factorisation est terminée : az 2 + bz + c = a (z − z0 ) 2 b . z0 est appelée “racine double” de l’équation, en raison du carré qui la fait apparaître avec z0 = − + 2a deux fois dans la factorisation du trinôme. • Si ∆ < 0, on va cette fois utiliser notre nouvelle identité remarquable u2 + +v 2 = (u − iv) (u + iv) : √ √ √ 2 −∆ b −∆ −∆ b b + =a z+