Factorisation

constitue le domaine d'application privilégié des futures cartes de calcul quantique, si elles existent un jour. Ainsi il peut être très difficile de trouver tous les facteurs premiers d’un grand nombre (par exemple de 1000 chiffres). Ce problème de factorisation est difficile pour un ordinateur ordinaire à cause de l’explosion combinatoire. Un circuit de calcul quantique pourrait résoudre ce problème en un temps polynomial, c’est-à-dire que pour l’ordinateur quantique, la difficulté augmenterait polynomialement

Remarque Dans cette ´criture, chaque somme e de F pour αk . Proposition 2.3.2 (d´composition dans R(X)) e A Soit F = B une fraction rationnelle de coefficients r´els, sous forme e irr´ductible. p e q Soit B = λ Π (X − αk )rk Π (X 2 + bk X + ck )sk la factorisation de B dans R [X] Alors la fraction rationnelle F s’´crit de mani`re unique : e e p k=1 k=1 rk j=1 λkj (X−αk )j est la partie polaire F =E+ k=1 rk j=1 λk,j (X−αk )j q + k=1 sk j=1 ck,j X+dk,j (X 2 +bk X+ck )j o` E

0 ) = E Q [D(t,T). Il( L (T )> L ( t0 )+ L ) .( K − S (T )) + Ft ] . Où C (t , t 0 ) représente la valeur de l'option à l'instant t, qui a été signée à l'instant t 0 < t et qui mûre à l'instant T> t. et D(t,T) ≡ exp(− ∫ rs .ds ) . t T Une factorisation est rendue possible par Jamshidian (1996) en passant a un autre univers de mesure dit univers Forward neutre ( Forward-neutral mesure univers) qu'on note QT, ce qui donne : C (t , t 0 ) = P( t ,T).E Q [ Il( L (T )> L (t0 )+ L ) .( K − S (T ))

substitution (avant ou arrière si A est inférieure ou supérieure). 2 grandes méthodes EXACTES: ELIMINATION DE GAUSS JORDAN Simple à comprendre, mais nécessite de modifier b en même temps que A Ne donne pas directement A-1 et les vecteurs propres FACTORISATION L U Un peu plus subtile, ne modifie pas b, donc on peut utiliser la même décomposition pour tout vecteur b, donne A-1 et les vecteurs propres Gauss Jordan (pivot de Gauss) Prenons l’exemple suivant : On conserve la ligne L1, qui sert

mais la fonction d’onde de spin est antisymétrique. Il faut insister sur le fait que cette factorisation n’est qu’une approximation. Pour les atomes héliumoïdes à deux électrons et de charge Z pour le noyau, l’approximation est bonne pour z grand (gros atome épluché qui n’a gardé que deux électrons), moyenne pour z = 2 (Hélium) et carrément mauvaise pour Z = 1 (ion H− , qui existe). Mais cette factorisation est commode pour imposer l’antisymétrie et faire le décompte des états. 9.3 Formalisme général

indispensables pour déterminer deux grands nombres premiers p et q. La multiplication de grands nombres est nécessaire pour pouvoir encoder et décoder des informations en un temps raisonnable permettre une utilisation courante du système. La factorisation qui, tant qu'elle ne sera pas réalisable en un temps envisageable pour les grands nombres, garantit la sécurité du cryptage des données. Je peux conclure que RSA est probablement une méthode de chiffrement sûre. Il y a très certainement plus

. . . . . . . . . . . . 90 5.8.1 Instructions de contrˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.8.2 Fonctions et proc´edures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6 Utilisation de MAPLE en math´ematiques 93 6.1 D´eveloppement, factorisation et simplification d’expressions . . . . 93 6.1.1 Rappels math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.1.2 Quelques fonctions de manipulation d’expression . . . . . . 94 6.1.3 La fonction convert . . . . . . . . . . . . . . . .

1)n − nX − 1 b) ∀n ∈ N , (X − 1)3 | nX n+2 − (n + 2).X n+1 + (n + 2)X − n Exercice 54 [ 02167 ] Exercice 55 a) Avec le logiciel de calcul formel : Que dire, pour n = 3, 4, 5, 7 du module des racines complexes de Pn ? Quelle est la factorisation de P7 dans R [X] ? dans C [X] ? Vérier, à l'aide de valeurs approchées, que le polynôme P9 possède des racines de module > 1. b) Démontrer que pour n > 7, le polynôme dérivé Pn admet au moins une racine dans C de module > 1. c) Soit P ∈ C [X]

^ a + bh2 ; a2 - 2ab - b2 = ^ a - bh2 ; ab - ac = a ^ b - ch. a2 - b2 = ^ a + bh ^ a - bh. Exemples : A = ^12x + 3h ^2x - 7h - ^2x - 7h ^2x - 7h A = ^2x - 7h ^10x + 10h. = ^2x - 7h 612x + 3 - 2x + 7 @ = ^2x - 7h 6^12x + 3h - ^2x - 7h@ Factorisation de B = 9x2 - 25 B = ^3x - 5h ^3x + 5h. B = ^3x h2 - 52 Bien identifier les termes a et b. Test 1 QCM Pour chaque question, trouver la bonne réponse. a. 4x2 - 9 1. ^2x - 3h2 est égal à : b. 4x2 - 12x + 9 c. 4x2 - 12x - 9 c. - x2 - x - 15

....................................................................... 4 I-A-1-a - La découpe fonctionnelle d'un problème informatique : une approche intuitive........................... 4 I-A-1-b - Le "plus" de l'approche fonctionnelle : la factorisation des comportements................................. 4 I-A-1-c - Le revers de la médaille : maintenance complexe en cas d'évolution.......................................... 5 I-A-1-d - La séparation des données et des traitements : le piège !..