Factorisation

droite réelle des inégalités du type |x − a| b. Majoration, minoration et encadrement de sommes, de produits et de quotients. b) Équations, inéquations polynomiales et trigonométriques Équation du second degré. Déterminer le signe d’un trinôme. Factorisation d’un polynôme dont une racine est connue. Factoriser un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 dont une racine est connue. Il s’agit de consolider les acquis de la classe de Terminale. Utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre des équations

pas nécessairement distinctes) tels que l’on puisse écrire la factorisation suivante : P (z) = an (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ) Il s’en suit dans C : Corollaire I.3.1. En reprenant les notations précédentes l’équation P (z) = 0 (I.3.3) Sommaire Concepts (I.3.2) admet exactement n racines, chaque racine étant comptée autant de fois que sa multiplicité, c’est à dire que le nombre de fois où elle apparaît dans la factorisation I.3.2. Exemples Exercices Documents 44 précédent suivant

3n où a ∈ ℕ, n ∈ ℕ, n ≥ 3 . a. Montrer que si n ≥ 3 , 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4. b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair. c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p ≥ 2 . Déduire d’une factorisation de 3n − a2, que l’équation proposée n’a pas de solution. 3. Étude de l’équation d’inconnue a : a2 +9 = 5n où a ∈ ℕ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 . a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution si n est impair. b. On pose n = 2p, en

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.1. Nombres premiers, crible d’Eratosth`ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2. Factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Petit th´or`me de Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

est impair. b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution. 2. Étude de l’équation d’inconnue a a. Montrer que si n : a 2 + 9 = 3n où a ∈ N, n ∈ N, n 3. 3, 3n est congru à 1 ou à 3 modulo 4. 2. Déduire d’une factorisation de 3n − a 2 , 2. b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair. c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p que l’équation proposée n’a pas de solution. 3. Étude de l’équation d’inconnue a : a 2 +

variancecovariance des chocs est supposée diagonale ce qui implique que les chocs structurels sont orthogonaux. La deuxième restriction est que la matrice A0 est représentée par le triangulaire inférieur. Ces deux hypothèses sont connues par la factorisation de Choleski du modèle VAR. 10 Cependant, dans l’analyse empirique, l’hypothèse que A0 est le triangulaire inférieur est largement critiquée. Cette hypothèse impose une forme récursive des corrélations contemporaines dans le système. Cela

réel et ∈ R(X) une fraction rationnelle réelle définie sur l’intervalle I, c. a d. Q pour tout s ∈ I on a Q(s) = 0. La fonction associée est aussi notée P P (s) : I → R, s → Q Q(s) 3.3.1 Rappel. Si Q ∈ R[X] est un polynôme réel de degré q ≥ 1, de factorisation réduite 15) : r s (X − tk )mk Q = aq k=1 15) voir Corollaire 1.3.21 2 de polynômes et fractions rationnelles : r, s ∈ N sont des entiers naturels non tous deux nuls. ((X − bk )2 + c2k )νk Si l’un est nul le produit correspondant s’interprette

-0.4444 et le polynôme obtenu est : 2. Manipulation de fonctions polynomiales dans MATLAB Soit le polynôme suivant : où n est degré du polynôme et Ce polynôme peut être écrit sous la forme : sont les coefficients du polynôme. Après factorisation, on a : où sont les racines du polynômes . Exemple : Ce polynôme est équivalent à : ou encore : Un polynôme d’ordre n possède n racines qui peuvent être réelles ou complexes. Dans MATLAB, un polynôme est représenté par un vecteur

de Cronbach La qualité de la page d'accueil 0,751 Chi-deux = 122,936 p< 0,000 0,864 0,768 La pertinence des informations 0,733 La présentation, l'esthétique 0,790 La navigation 0,699 Les tests de KMO et de Bartlett autorisent la factorisation des données. L’ensemble des indicateurs (communauté, Alpha de Cronbach) atteint les normes statistiques communément acceptées. Par ailleurs, l’analyse confirme le caractère unidimensionnel du construit. L’échelle de satisfaction est issue des

l’équation x²-10x+21=0. L’intervalle I=[3, 7] est donc stable pour f. (3  x  7  3= f(3)  f(x)  f(7)=7 ) La source x0=6 étant élément de I, on en déduit que tous les itérés successifs xn par f sont aussi éléments de cet intervalle. La factorisation nous montre alors que la différence xn+1-xn de deux termes successifs est toujours négative. La suite donnée est donc décroissante, minorée par 3, donc convergente. On sait que dans ce schéma la convergence ne peut avoir lieu que vers un