Factorisation

domaine de définition 1C. Principaux ensembles de nombres 1D. Les symboles logiques ⇒, ⇔ ; les quantificateurs 2. Rappels des principales techniques de calcul dans R 2A. Représentation des réels 2B. Calculs numériques 2C. Développements, factorisations 2D. Valeur absolue 2E. Ordre dans R 8 2067 TG PA 00 3. Equations 3A. Généralités 3B. Equations polynomiales du premier degré 3C. Equations polynomiales du second degré 3D. Equations polynomiales de degré strictement supérieur à

La derni`re propri´t´ r´sulte de la factorisation X n − 1 = (X − 1)(X n−1 + · · · + X + 1). e ee e Toute racine n-i`me de l’unit´ z diff´rente de 1 v´rifie donc la relation z n + · · · + z + 1 = 0. e e e e Les racines n-i`mes de l’unit´ peuvent ˆtre repr´sent´es graphiquement sur le cercle e e e e e unit´. Cf. Figure 3 o` sont repr´sent´es les racines cubiques de l’unit´, 1, j = e2iπ/3 et e u e e e 2 4iπ/3 ¯ Du fait de la factorisation X 3 − 1 = (X − 1)(X 2 + X + 1), on remarque

Californie, états-Unis). Tout le principe de RSA repose sur le fait qu'il est très dicile et donc très long de décomposer un très grand nombre en deux grands facteurs premiers, sauf cas particuliers. 2.1.2 Principe Le codage RSA repose sur la factorisation d'un entier. En eet, il est très compliqué de factoriser un entier susamment grand n'ayant pas de petits facteurs premiers. Soient p et q deux nombres premiers, il est facile de calculer leur produit n = p.q . Toutefois retrouver p et q , en

)Card(E) Card(P(E)) = 2Card(E) 10 1.1.5 Structures algébriques usuelles Formule du binôme de Newton : Soit (A, +, .) un anneau, soient x, y ∈ A tels que x.y = y.x, soit n ∈ N, n (x + y)n = k=0 n k xk y n−k Formule de factorisation : Soit (A, +, .) un anneau, soient x, y ∈ A tels que x.y = y.x, soit n ∈ N∗ , n−1 x − y = (x − y) k=0 n n xn−1−k y k 1.1.6 Polynômes Equations du second degré : Soient a, b, c ∈ C avec a = 0. Le discriminant de l’équation

mot identité qui sous-entend « identique ». On devrait plutôt dire « égalité remarquable ». Cette égalité vaut en effet la peine d’être remarquée car elle permet, comme on va le voir par la suite, de faire rapidement des développements ou des factorisations. Effectue les quatre exercices suivants dans ton cahier d’exercices. EXERCICE 7 Développe les expressions ci-dessous. A = (x + 3)2 B = (2u + 5)2 C = (3v + 2)2 D = (z + 1)2 EXERCICE 8 Calcule de tête 1012. EXERCICE 9 Développe

scalaires normaux, à ceci près qu'il s'agit d'une algèbre non commutative. Il faut donc prêter attention aux commutateurs entre les opérateurs concernés. En l'occurrence, le commutateur entre et est: La résolution du système passe alors par une factorisation inspirée de l'identité remarquable . En se rappelant que , on introduit donc deux opérateurs (à un facteur de normalisation près): Pour des raisons qui apparaissent en cours de calcul (cf article détaillé), ces opérateurs sont appelés opérateurs

par exemple dans "xcas" (programme open source multi-plateforme) la commande ifactor(17 989 991) fournit en retour 3 863 × 4 657, avec un temps de calcul inférieur à 0,1 s ! MATHS 1 2 Alain Plantefol Il est évident que le temps de factorisation par un ordinateur d'un nombre premier augmente avec sa taille. Le plus grand nombre premier connu à ce jour (record du 15.12.2005) est 230 402 052 – 1 qui vaut environ 109 152 052 (L'utilisation de très grands facteurs premiers est utilisé pour

l'unité : 1, z = [pic], z2 , [pic], [pic]; solutions de l'équation z5 - 1 = 0. Le polynôme z5 – 1 se factorise sous la forme z5 – 1 = (z – 1)( z4 + z3 + z2 + z + 1) (formule classique de la somme des 5 premiers termes d’une suite géométrique). La factorisation peut se poursuivre par z5 – 1 = (z – 1) (z2 – 2αz + 1) (z2 – 2βz + 1) avec par identification les réels α et β vérifiant α + β = [pic] et αβ = [pic]. Dans le triangle rectangle IJQ, P est le milieu de [IJ] donc OI – OJ = -2 OP = [pic] et la relation

Vision objet d’un système d’information (3) Héritage Transmission de propriétés (attributs et méthodes) d’une classe à une sous classe d’objets Tarak Chaari (ISECS) UML 8 Vision objet d’un système d’information (4) Polymorphisme Factorisation de comportement (méthodes) commun d’objets Tarak Chaari (ISECS) UML 9 Vision objet d’un système d’information (5) L’agrégation Une relation d'agrégation permet de définir des objets composés d'autres objets. L'agrégation permet d'assembler

solutions sont de trois types : b – si ∆ = 0, la racine double est réelle et vaut − , 2a −b ± ∆ – si ∆ > 0, on a deux solutions réelles , 2a − b ± i −∆ . – si ∆ < 0, on a deux solutions complexes, mais non réelles, 2a Démonstration. On écrit la factorisation az2 + bz + c = = = = c b2 + 2 a 4a 2 2 2 b b ∆ δ a z+ − 2 = a z+ − 2 2a 2a 4a 4a b δ b δ a z+ − z+ + 2a 2a 2a 2a −b + δ −b − δ a z− z− = a (z − z1 ) (z − z2 ) 2a 2a a z2 + b c z+ =a a a z+ b 2a − 2 Donc le binôme s’annule si et seulement