Factorisation

du système linéaire et sur le second membre. Finalement, au moyen des opérations décrites ci-dessus, on a transformé le système linéaire 1 1 Ax = b en U x = T32 (− )T31 (1)b, oé U = T32 (− )T31 (1)A 2 2 est une matrice triangulaire supérieure. Factorisation LU Tout va donc très bien pour ce système, mais supposons maintenant qu’on aitàrésoudre 3089 systèmes avec la méme matrice A mais 3089 seconds membres b différents9 . Il serait un peu dommage de recommencer les opérations ci-dessus 3089 fois, alors

calcule le discriminant associé au polynôme du second degré X 2−X−2 : =b 2−4ac=(-1)2−4×1×(-2)=9>0. Le polynôme X 2−X−2 a donc deux racines X1= -b− 2a =…=-1 et X2= -b+ 2a =…=2. On va passer (c’est nettement plus simple pour la suite) par la factorisation de X 2−X−2 : Rappel (de première) : Lorsque >0 : aX 2+bX+c=a (X−X1)(X−X2) L’inéquation X 2−X−2>0 équivaut à (X+1)(X−2)>0ñ (e x +1)(e x −2)>0 (on revient aux x) On sait que pour tout x☻Ë, e x >0, donc le facteur (e x +1) est strictement positif

chiffrement symétrique, une attaque exhaustive est hors de porté dèsque l’espace des clés est suffisamment grand (minimum 64 bits) [Cant01] [Han99]. Pour lesalgorithmes à chiffrement asymétrique, leurs sécurités reposent principalement sur la factorisation du grand entier (n). Le plus grand nombre ordinaire factorisé à ce jour est un nombre de 576 bits établi en décembre 2003 Durée de traitement de quelques algorithmes cryptographiques L’authentification et l’identification

pour tout ) ( ) √ (par continuité en 1) et, d’autre part, continuité en 1). Par quotient des limites, il résulte que ( ) , on a finalement Finalement, la fonction , ) ) (√ Or, d’une part, . √ Après factorisation du trinôme ( ) admet deux racines réelles distinctes : √ ( ) { }. ) le discriminant du trinôme du second degré Comme est continue sur est continue en 1. ( Posons { } donc , √ ( . Cette fonction

MOIVRE et d’EULER Formule de MOIVRE Propriété 9 Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). Un peu d’histoire : Abraham de MOIVRE 1667-1754 est un mathématicien britannique d’origine française. Exemple 13 Factorisation de cos(2θ) et sin(2θ) : 2   On a d’une part : (cos θ + i sin θ) = cos(2θ) + i sin(2θ) d’après la formule de MOIVRE, 2   et d’autre part : (cos θ + i sin θ) = cos2 θ + 2i cos θ sin θ − sin2 θ par développement,   d’où : cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ

nd 1 + p + · · · + pd−1 = n1 (p − 1) + n2 (p2 − 1) + nd pd − 1 p−1 n − sp (n) = p−1 25 L’´nonc´ du th´or`me sous-entend que p − 1 divise toujours la quantit´ n − sp (n), ce qui e e e e e peut se voir facilement par ailleurs. En effet, la factorisation : pk − 1 = (p − 1) pk−1 + · · · + p + 1 prouve que p − 1 divise toujours pi − 1. Par ailleurs, on a, en gardant les notations du th´or`me : e e n − sp (n) = nd pd − 1 + nd−1 pd−1 − 1 + · · · + n1 (p − 1) et la conclusion en d´coule directement

. . . . . . . . . . II Résolution de l’équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Équation du second degré et discriminant . . . . . . . . . . . . II.2 Résolution de l’équation du second degré . . . . . . . . . . . . II.3 Factorisation d’un trinôme du second degré - Forme factorisée . III Signe du trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Signe de ax2 + bx + c avec a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Application à la résolution des inéquations

≤n−1 Remarques – Les points images Mk de ces n racines n-i`mes sont les sommets d’un polygˆne r´gulier e o e 1/n convexe inscrit dans le cercle de centre O et de rayon ρ . n−1 n – Les n racines n-i`mes zk de Z apparaissent dans la factorisation : z − Z = e (z − zk ). k=0 – En particulier, par identification des termes de degr´ n − 1 et des termes constants : e La somme des n racines n-i`mes zk de Z est nulle (si n ≥ 2). e Leur produit vaut (−1)n−1 Z. c EduKlub S.A. Page

9632 3654 25412 3654 238 1456 698 150 1 0 0 1 ,8 ,0 ,0 ,9 4 2 2 0 2 5 0 0 151,0 65,0 ,0 ,0 3 -1 12 -2 127 65,0 658 7,0 77,0 6,0 ,0 42,0 2 2 -1 9 La procédure SPSS pour effectuer l’analyse en composantes principales est la suivante : - Analyse Factorisation Analyse factorielle - Dans Variables, sélectionner toutes les variables métriques à factoriser. - Dans Caractéristiques, cocher caractéristiques uni variées et coefficients de corrélation. - Dans Extraction, cocher Graphique des valeurs propres

cinquième de l'unité : 1, z = , z2 , , ; solutions de l'équation z5 - 1 = 0. Le polynôme z5 – 1 se factorise sous la forme z5 – 1 = (z – 1)( z4 + z3 + z2 + z + 1) (formule classique de la somme des 5 premiers termes d’une suite géométrique). La factorisation peut se poursuivre par z5 – 1 = (z – 1) (z2 – 2z + 1) (z2 – 2z + 1) avec par identification les réels  et  vérifiant  +  = et  = . Dans le triangle rectangle IJQ, P est le milieu de [IJ] donc OI – OJ = -2 OP = et la relation métrique