Factorisation

coefficients r´els sont toujours conjugu´es. o a e e Une remarque importante est que la factorisation d´pend essentiellement du corps de base, e R ou C. Exercice : Factoriser sur R et C le polynˆme X 4 − 1. o Solution : On a deux racines r´elles, 1 et −1. On fait la division de X 4 − 1 par (X − 1)(X + 1) e et on voit que X 4 − 1 = (X 2 − 1)(X 2 + 1), o` les racines du deuxi`me polynˆme sont ±i. Ainsi u e o la factorisation dans R est : X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + 1) alors que dans C c’est : X 4 − 1 =

classes est un graphe : Nœud du graphe = Classe Abstraction d’un ensemble d’objets Arc du graphe = Relation entre des classes : Relation d’association Abstraction d’un d’ensemble de liens entre objets Relation de généralisation / spécialisation Factorisation de propriétés communes à plusieurs classes Très nombreuses utilisations, à différents niveaux : Pendant la capture des besoins : Modèle du domaine Classes correspondant à des objets du domaine Pendant la conception/implémentation : Modèle de conception

trajet ? distance 49 , donc temps = temps = = 1, 4 h. vitesse 35 Il faut convertir en heures et minutes : 1h + 0,4h Quelle est sa vitesse ? vitesse = Bilan 8 : Calcul littéral : identités remarquables et racines carrées 1. Développements et Factorisations: Définitions : • • Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence). Factoriser une somme (ou une différence), c’est l’écrire sous la forme d’un produit. Propriétés • • • Exemples Développement : Développement

est un graphe : Nœud du graphe = Classe Abstraction d’un ensemble d’objets Arc du graphe = Relation entre des classes : Relation d’association Abstraction d’un d’ensemble de liens entre objets Relation de généralisation / spécialisation Factorisation de propriétés communes à plusieurs classes Très nombreuses utilisations, à différents niveaux : Pendant la capture des besoins : Modèle du domaine Classes = Objets du domaine Pendant la conception/implémentation : Modèle de conception Classes

l’équation 2x2 − 8 = 0 2x2 − 8 = 0 ⇔ 2x2 = 8 ⇔ x2 = 8 2 = 4 ⇔ x = − √ 4 = −2 ou x = √ 4 = 2 S = {−2 ; 2} Les équations qui ne sont pas de base On va voir que quand on n’a pas une équation de base, ben il faut s’y ramener coûte que coûte grâce à des factorisation ou des réductions au même dénominateur ! ! Face à une équation, voici la démarche à suivre : Première question à se poser : L’équation est-elle de base ? ⊲ Si oui, la résoudre avec la méthode correspondante vue précédemment. ⊲ Sinon, on élimine

inférieure Extrait une matrice triangualaire supérieure 44 chol cond det eig inv lscov lu nnls norm null orth pinv poly rank svd trace / Analyse numérique matricielle Factorisation de Cholesky Conditionnement Déterminant Valeurs propres et vecteurs propres Inverse Moindres carrés avec matrice de covariance donnée Factorisation LU Moindres carrés avec contrainte de positivité Norme Base orthonormale du noyau Base orthonormale de l’image Pseudoinverse Polynôme caractéristique Rang (= dimension de

lim 3 1 ( x 1) 2 f ( x)dx = lim ln 2 X 2 x 2x 5 1 x 1 Arc tan 2 2 3 1 2 3 2 1 1 ln 2 Arc tan 1 2 2 3 4 8 4 dx 1 ln 2 2 3 8 x 1 2 1 ln 2 2 2 4. 1 x 2 2 x 5 dx 1 ( x 1) 2 2 1 1 dx . Cette factorisation justifie le changement de variable : sht x 1 2 t Argsh 2cht dt dx et les nouvelles bornes : 2 ln(1 2) x 1 x 3 x 1 . L’élément différentiel est : 2 t 0 t ln(1 Argsh1 ln(1 2) ln(1 2 2) 2) 3 2 1 x 1 2

Formules de MOIVRE et d’EULER Formule de MOIVRE Propriété 9 Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N : (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). Un peu d’histoire : Abraham de MOIVRE 1667-1754 est un mathématicien britannique d’origine française. Exemple 13 Factorisation de cos(2θ) et sin(2θ) : 2 ➔ On a d’une part : (cos θ + i sin θ) = cos(2θ) + i sin(2θ) d’après la formule de MOIVRE, 2 ➔ et d’autre part : (cos θ + i sin θ) = cos2 θ + 2i cos θ sin θ − sin2 θ par développement, ➔ d’où : cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ

B.5 Exercices du chapitre V B.5.1 B.5.2 B.5.3 B.5.4 B.5.5 B.5.6 Mineur et cofacteur . . . . . . . . . . Calculs simples de d´terminants . . . . e Propri´t´s du d´terminant . . . . . . . ee e Propri´t´s du d´terminant . . . . . . . ee e Factorisation d’un d´terminant . . . . e Inverse d’une matrice carr´e d’ordre 3 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

apparait souvent directement sous la forme X 2 − sX + p. On a alors int´rˆt, plutˆt que de se pr´cipiter sur le discriminant, ` mettre direcee o e a tement T sous forme canonique : T (X) = (X − a)2 + b2 en faisant apparaitre le d´but d’un carr´, la factorisation de T sur C e e est alors imm´diate et l’on a directement a et b qui interviennent dans e le calcul du terme en arc tangente. Exemple 19. √ T (X) = X 2 + X + 2 = (X + 1/2)2 + 7/4 = (X + 1/2)2 − (i 7/2)2 Diff´rence de deux carr´s qui s’´crit : e e