Factorisation

France 05.55.45.72.77 christophe.chabot@unilim.fr e Chiffrement ` clef publique ou asym´trique a e Cryptographie ` clef publique a R.S.A. DLP & Diffie-Hellman El Gamal S´curit´ du cryptosyst`me RSA e e e Limites actuelles de factorisation : ≈ 200 chiffres Record actuel2 : RSA200 (200 chiffres d´cimaux) e Bahr, Boehm, Franke and Kleinjung - 9 mai 2005. Si la clef secr`te d est petite (de l’ordre de n 4 ) : e attaque utilisant l’algorithme des fractions continues (algorithme LLL)

x1 x2Signe de ax2 bx cSigne de aSigne de -aSigne de a Cas ou ( 0 Lexpression factorise ax2 bx c a (x x0)2 permet dcrire directement le tableau des signes, xx1Signe de ax2 bx cSigne de aSigne de a Cas ou ( 0 La factorisation est impossible, ax2 bx c est toujours du signe de a. 6. Exercices 6.1. Rsoudre les quations suivantes. 1) x2-3x 0 2) x2 4x 0 3) x2 -x -12 0 4) 3x2 6x 3 0 5) 6x2 - 13x - 5 0 6) -4x2 x - 8 0 7) x2 - 4x -3 8) 2x2 3 7(1-x)

. . . . . . . . . . . . . 5 Factorisation de polynômes 5.1 Polynômes de degré n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Factorisation de polynômes du deuxième degré . . . . . . . . 5.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Schéma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Bonus : une preuve que la racine de 2 est irrationnelle 5.5 Factorisation de polynômes de degré supérieur

= b2 − 4ac. u e 2a 2a Si ∆ = 0 le polynˆme P = aX 2 + bX + c a une racine double z0 et on peut le factoriser comme suit : o P (z) = a(z − z0 )2 . Si ∆ < 0 et si a, b et c sont des nombres r´els, alors les racines z1 et z2 sont conjugu´es et la factorisation e e est alors : P (z) = a(z − z1 )(z − z1 ). c Somme et produit des racines : z1 + z2 = −b et z1 z2 = a . a 3.3 1. 2. 3. 4. 5. 6. Transformations ponctuelles du plan → translation de vecteur − , d’affixe a : z ′ = z + a. u Rotation de centre

tg a/2 1 + tg²a/2 3. tg a = 2 tg a/2 si a ≠ π + 2kπ et a ≠ π/2 + kπ 1 – tg²a/2 Démonstration: Tg a = sin a cos a Tg a = 2 tg a/2 . 1 + tg²a/2 1 + tg²a/2 1 – tg²a/2 Tg a = 2 tg a/2 1 – tg²a/2 Factorisation (Simpson) : 1. sin p + sin q = 2 sin(p+q) cos(p – q) 2 2 Démonstration: Sin(a + b) + sin(a – b) = (sin a cos b + sin b cos a) + (sin a cos b – sin b cos a) (formules d’addition Sin(a + b) + sin(a – b) = 2 sin a cos

de H), on peut écrire : H ( p)  A  p  p1  p  p2   p  pn  Les polynômes N(p) et D(p) sont à coefficients réels, donc les zéros et les pôles sont soit réels, soit complexes conjugués. Il est donc toujours possible de regrouper dans la factorisation des termes du type :  p  p j  p  p j  (idem avec les zéros). Ainsi, il est toujours possible de décomposer les polynômes N(p) et D(p) en un produit de polynômes de degré 1 ou 2, à coefficients réels, ce qui montre l’importance des fonctions

nombre d'opérations et beaucoup de mémoire pour effectuer les calculs -> infaisable ! Par exemple dans RSA, l'algorithme le plus utilisé actuellement, la déduction de la clé privée à partir de la clé publique revient à résoudre un problème de factorisation de grand nombre que lequel travaille les mathématiciens depuis plus de 2000 ans ! Le choix des clés doit être fait de la manière la plus imprédictible possible : éviter les mots du dictionnaire, nombres pseudo-aléatoires à germe de génération

nombre d'opérations et beaucoup de mémoire pour effectuer les calculs -> infaisable ! Par exemple dans RSA, l'algorithme le plus utilisé actuellement, la déduction de la clé privée à partir de la clé publique revient à résoudre un problème de factorisation de grand nombre que lequel travaille les mathématiciens depuis plus de 2000 ans ! Le choix des clés doit être fait de la manière la plus imprédictible possible : éviter les mots du dictionnaire, nombres pseudo-aléatoires à germe de génération difficile

Somme et produit d'une famille finie de nombres réels. Notations , . Exemples de changements d'indices et de regroupements de termes.Télescopages. Sommes usuelles n k=1 k; n k=1 k2 ; n k=1 k3 ; n xk . Factorisation de an − bn ; on insiste sur les cas n = 2 ou n = 3. k=1 Factorielle. Coefficients binomiaux. Notation n p . Formule et triangle de Pascal. Formule du binôme de Newton. Manipulation des inégalités. Valeur absolue d'un réel

de masse ). Une statistique est dite exhaustive (ou suffisante) si et seulement si la distribution conditionnelle de sachant S=s ne dépend pas de vecteur de S. S résume toute l’information contenue dans l’échantillon. V. Le critère de factorisation: Théorème : Soit un n-échantillon de X, de densité Une statistique est exhaustive si et seulement si, ils existent deux fonction positives g et h telle que: avec où:  h ne dépend pas de  g(s, ) dépend de l’échantillon mais a travers