Factorisation

x  sin5x Résoudre dans 1.2 Transformation de a cos t + b sin t Propriété : Soit (a,b)  2 , avec (a,b)  (0,0) , il existe (A, )  2 tel que : t  , a cos t  bsin t  Acos(t  ) . Exemple 10. : cos x  3sin x  2 . Résoudre dans 1.3 Factorisation de 1±ei Propriété : i  , 1  e   i  2cos e 2 2 i et 1  e   i  2isin e 2 . 2 1.4 Linéarisation de cospx sinqx C’est-à-dire, écrire cosp x sin q x , avec (p,q)  2 et x  , comme combinaison linéaire de termes de la forme

dans les modèles de processus analysés. 2. Détecter les types de conflits similaires. 3. Construire un modèle de processus générique cohérent, compréhensif et valable pour toute entreprise dans le même domaine en appliquant des règles de factorisation bien déterminées. ACKNOWLEDGMENTS REFERENCES E. Gamma, R. Helm, R. Johnson, et J. Vlissides. Design Patterns. Elements of Reusable Object-Oriented Software. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 199. Nick Russell, Arthur H.M. ter Hofstede

segmentation. La base de travail se présente donc sous la forme d’un tableau avec en lignes les individus et en colonnes les variables discrétisées, chaque colonne représentant une modalité ou un groupe de modalités de la variable sélectionnée. La factorisation réduit ces variables initiales en les regroupant selon des critères de corrélation. Elle aboutit à la mise en évidence des facteurs principaux de différenciation des clients. La typologie regroupe ensuite les individus les plus proches dans ce

n = ➀ 2n 2l + 1 l=0 n = l=0 ❶ ➀ 2n 2l n ❶ ➀ 2n 2l ❶ − l=1 n+1 − l=1 ❶ ➀ 2n 2l − 1 ➀ 2n 2l − 1 © Laurent Garcin 2 MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Sommes classiques 2.1 Factorisation de an − bn Proposition 2.1 Soient a et b deux réels ou complexes et n ∈ N∗ . Alors an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) n−1 n−1 ak bn−1−k = (a − b) = (a − b) k=0 an−1−k bk k=0 Remarque. On a en particulier

– 1)2 élever au carré · ajouter – 9 (x – 1)2 – 9 (x + 4)(x + 2) calculer le produit 2. Comparaison de P1 et P2 Entrée : x = – 2 ; sortie P1 : 0 ; sortie P2 : 0. Entrée : x = 1 ; sortie P1 : – 9 ; sortie P2 : 15. 3. Par factorisation : (x – 1)2 – 9 = (x – 1 – 3)(x – 1 + 3) = (x – 4)(x + 2). D’où la modification du programme P2 : x x–4 ajouter – 4 x x+2 ajouter 2 x ajouter – 2 ΃ x–2 Programme P2 : x – 4x multiplier par – 4 x · calculer

Un nombre composé ne se résoud que d’une seule manière, en facteurs premiers (Gauss C. F., Recherches arithmétiques (1807),) Ce théorème signifie ainsi que tout nombre composé est factorisable en un produit de nombres premiers et que cette factorisation est unique. Ce résultat est connu comme le théorème fondamental de l’arithmétique. La démonstration rigoureuse et complète de ce théorème est due à C.F. Gauss. Néanmoins l’on trouve dans les Eléments d’Euclide, soit près de vingt et un siècles

maths aussi) n’auraient rejoué l’acte 2 scène 4 du cauchemar des mathématiques, dans un monde où pourtant elles prédominent (entre les iphones, tablettes, satellite, ordinateur…) Ils veulent oublier pour toujours les identités remarquables, les factorisations, les théorèmes, Pythagore, Thalès, le triangle rectangle, les bissectrices… et… LES PROBLEMES ! Le cauchemar est loin derrière moi, je n’étais pas bon en maths du coup je me suis frayé un chemin moins bien tracé. J’ai fait beaucoup de choses pour

issue de C. Nous avons ainsi prouv´ que les trois hauteurs d’un triangle sont concourrantes. e Exercice 5: Le probl` me des professeurs de math´ matiques e e En fait, on cherche un polynˆ me du second degr´ dont les racines soient o e sur la factorisation d’un polynˆ me) qu’un tel polynˆ me sera de la forme a(x o o on veut, les racines seront toujours les mˆ mes, prenons donc a = 1. Alors le polynˆ me devient : e o √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 2 3 2 3 2 3+ 2 6 2 2 (x − )(x − )= x −( + )x + × =x − x+ . 2

✒ ∆   ✒✔✏ ✎ δ ✌ 2 ∆ ☛ δ☞ ✍ ☛ ✒✔✏ ✎ δ et 2 2✌ ☞ On obtient ainsi une expression identique des solutions valable dans les deux cas. ✍ ✓ ☛ et les solutions s'écrivent La démonstration précédente fait apparaître la factorisation du trinôme ✂✌ ✍ ☞ ✎ ✏ ✍ ✎ ✑ ✌✂✍ ☞ ✎ ✏ ✍ ✎ ✑✖☛ ✌ (✍ http://xmaths.free.fr/ ✒ ✍ ✓ )(✍ ✒ ✍ ☞ sous la forme ). TS − Nombres complexes − Démonstrations page 7 / 7 

. . z1 V V.1 Formules de MOIVRE et d’EULER Formule de MOIVRE Propriété 9 Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N : (cos θ + i sin θ)n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple 13 Factorisation de cos(2θ) et sin(2θ) : ➔ On a d’une part : (cos θ + i sin θ)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ➔ et d’autre part : (cos θ + i sin