Factorisation

en contreplaqué ? Cela dit, si l'on veut vraiment citer quelques techniques, on a : la cryptanalyse différentielle, Biham et Shamir (le S de RSA), 1991, systèmes symétriques ; la cryptanalyse linéaire, Matsui, 1994, systèmes symétriques ; la factorisation, seul vrai moyen de déchiffrer RSA à l'heure actuelle ; la force brute, c'est-à-dire l'essai systématique de toutes les clefs possibles ; et d'autres encore. Autres facettes de la cryptologie[modifier] La confidentialité n'est que l'une des

de fonction; • apprendre à représenter correctement une fonction et à analyser son comportement; • appliquer les notions de base du calcul différentiel à des problèmes concrets. CONTENU On traitera des sujets suivants: Rappels d’algèbre: factorisations, manipulations avec les exposants, simplifications d’expressions algébriques (approximativement 5 heures). Notion de fonction: domaine, image, graphique cartésien. Opérations sur les fonctions. Fonctions puissances, polynomiales, rationnelles

2. Par identification avec l’énoncé, on obtient :   = −2 − i 2  a  a −i 2 b − ai 2 = 2 + 2i 2 ⇐⇒ b + 2i 2   −b −bi 2 = −2i 2   a = −2 b = 2  b = 2 = = = −2 2 + 2i 2 −2 ⇐⇒ On a donc P (z) = z − i 2 z 2 − 2z + 2 b. En utilisant la factorisation précédente : P (z) = 0 ⇐⇒ z − i 2 z 2 − 2z + 2 ⇐⇒ z −i 2 z 2 − 2z + 2 = = 0 0 On retrouve la racine i 2 ; résolution de l’équation du second degré : z 2 − 2z + 2 = 0 ⇐⇒ (z − 1)2 − 1 + 2 = 0 ⇐⇒ (z − 1)2 + 1 = 0 ⇐⇒ z −1 = i z = 1+i (z−1)2 = −1

3 - 3 000 ; 4 - 9 000. Merci à Alexia 31 Calcul de l’aire d’une plaquette : 10cm x 10 cm = 100 cm² = 1 dm² / Calcul de l’aire de la chambre 3m x 3 m = 9 m² = 900 dm² / 900/1 = 900 Réponse : 2 - 900 ; Q. 38 Quel est le résultat de la factorisation dé : 25 – 9² – (1–x) (3x-5) – (10-6x)(x+1) ? 1 - 2(5-3x) ; 2 - 4(5-3x)(x-1) ; 3 - 2(3x-5)(x+1) 4 - 4(5-3x). Merci à lenou33 Développement de 25-9x²-(1-x)(3x-5)-(10-6x)(x+1) 25-9x²-(3x-5-3x²+5x)-(10x+10-6x²-6x) -12x+20 Réponse 4 : 4(5-3x)

dans notre exemple pour n = 33 (3 * 11), mais qui l’est beaucoup moins dans la réalité. En effet, n est un nombre composé de plusieurs centaines de chiffres, et aujourd’hui encore, même un puissant ordinateur n’est pas capable d’effectuer une factorisation d’un aussi grand nombre en un temps raisonnable. C’est pourquoi le RSA reste aujourd’hui encore intègre. Cependant, son inviolabilité est désormais en danger, car l’évolution de plus en plus pressante de l’informatique pourrait bien un jour

naturelles suivantes : E , x −→ x ˙ - s : E −→ Rf ˜ E −→ Im(f ), x −→ f (x) - f induit l’application naturelle f: ˙ Rf - Si i est l’application identité de Im(f ) dans f , c’est à dire i : Im(f ) −→ F , a −→ a, on a la factorisation de f suivante : ˜ f =i◦f ◦s Cette factorisation de f est appelée décomposition canonique ds f . ˜ Remarque : Notons que s est une application surjective, f est bijective et i est injective. 

POLYNïMES ET FRACTIONS RATIONNELLLES. 1) Polyn™mes. a) Exemples. b) DiffŽrentes Žcritures d'un polyn™me : forme rŽduite et forme factorisŽe. c) ƒgalitŽ de deux polyn™mes. d) Somme et Produit de deux polyn™mes. e) ZŽro d'un polyn™me. f) Factorisation d'un polyn™me. g) ƒtude du signe d'un polyn™me. Commentaires ¥ Ce chapitre pourra se faire en relation avec l'Žtude des fonctions, des Žquations, des inŽquations et des syst•mes. ¥ On Žvitera toute gŽnŽralitŽ sur les polyn™mes.

− 1) 2 On peut aussi retrouver cette relation en considérant que T est la somme des racines d’un polynôme bien construit T = P n = (X − 1)n − X n = −nX n−1 + n(n − 1) n−2 X + ··· 2 Exercice 21 : [énoncé] 2ikπ Notons ωk = e n avec k ∈ Z. Par factorisation d’exponentielle équilibrée kπ |ωk − 1| = 2 sin n Alors n−1 n−1 Exercice 23 : [énoncé] On a (1 − ω)S = n−1 n n−1 (k + 1)ω k − k=0 k=1 kω k = k=0 ω k − nω n = −n |z − 1| = z∈Un k=0 kπ 2 sin = 2Im n e k=0 i kπ

coefficients de corrélation significatifs. Ensuite, il faut vérifier que l’indice de KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) est largement supérieur à 0,5. Dans notre cas, cet indice est de 0,647, il est à un niveau qui reste acceptable pour effectuer la factorisation (voir tableau 1). La dernière condition est celle du test de sphéricité de Bartlett, il est de 0,099 et il se situe dans une zone acceptable (voir tableau 1). 7 Gaudart, C et al. (2008),

des coefficients de corrélation significatifs. Ensuite, il faut vérifier que l’indice de KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) est largement supérieur à 0,5. Dans notre cas, cet indice est de 0,647, il est à un niveau qui reste acceptable pour effectuer la factorisation (voir tableau 1). La dernière condition est celle du test de sphéricité de Bartlett, il est de 0,099 et il se situe dans une zone acceptable (voir tableau 1). 7 Gaudart, C et al. (2008), « La fidélisation de nouveaux dans une entreprise du BTP