Extremum

Titre : :Oscillation avec frottement solide URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/frtsol_ j.html Capture d’écran Justification : En modifiant les paramètres b, x0 et T0, on visualise la plage d’équilibre et le lieu des extrémum. L’étudiant pourra écrire l’équation horaire du mouvement. Université Virtuelle Africaine  Lien utile #10 Titre :Trajectoire du soleil dans la galaxie URL : http://www.sciences.univ-nantes.fr/ physique/perso/cortial/bibliohtm/galaxi_

de l'atome, on trouve encore de plus petites particules, seulement celles-ci n'existent pas à l'état isolé : "Les atomes sont donc d'une solide simplicité, ensembles serrés et compacts de parties minimales." LUCRÈCE utilise l'expression CACUMEN EXTREMUM pour désigner ces particules élémentaires qu'EPICURE nommait AKRON, parcelles extrêmes de l'atome dont la forme est supposée cubique par les spécialistes. Passons maintenant au cinquième principe : s'il y a du mouvement dans l'univers, c'est que

Maximiser U = U (x,y) sous la contrainte budgétaire R = Px X + Py Y Ce programme est résolu par la méthode du multiplicateur de Lagrange (L) L = U (x,y) + £ [R – Px X – Py Y] où £ est appelé multiplicateur de LAGRANGE La fonction L admet un extremum si les dérivées premières à x, y et £ sont nulles. L = Umx - £Px = 0 (1) X L = Umy - £Py = 0 (2) Y L = R – Px X – Py Y = 0 (3) £ On a ainsi un système de 3 équations à 3 inconnues . Pour déterminer les 3 inconnues

» : C01_flp_ex1.ggb (Geogebra), C01_flp_ex1.fig (Cabri), C01_flp_ex1.g2w (Geoplan) et C01_flp_ex1.tns (TINspire). Fiche pratique TICE 3 P. 36 Les explications suivantes figurent dans le fic fichier C01_ de définition, image, antécédent, extremums, variations. tice.pdf, accessible aux élèves. Dans un premier temps, les élèves peuvent s’approprier la situation en calculant le volume pour quelques valeurs particulières. C’est l’occasion de mettre en place le calcul de volume par différence

signe de g’(x) qui est donné dans l’énoncé, on observe : • g ’(x) s’annule et change de signe pour x = 1. On peut en conclure que la fonction admet un extremum en 1. Cet extremum est ici un maximum car g est croissante puis décroissante • g ’(x) s’annule et change de signe pour x = 3. On peut en conclure que la fonction admet un extremum en 3. Cet extremum est ici un minimum car g est décroissante puis croissante. b) On ne connaît pas le signe de la dérivée de h comme dans l’exercice précédent aussi,

une courbe légèrement croissante durant les deux secondes suivantes. b) Comme au point précédent, il s’agit d’une fonction en 3 parties. Par contre, les 3 fonctions qui composent ce modèle sont de différents types. Dans les deux cas, on a des extremums et des intervalles de croissance et de décroissance. Par contre, seule la 2e situation présente des valeurs négatives pour la variable dépendante. 14 12 10 6. a) Page 82 Mise au point 2.1 (suite) Avant l’entraînement 8 Domaine

l’angle du prisme. 50 60 70 80 60 55 D(i) 50 45 i(°) Variation de la déviation en fonction de l’angle d’incidence Avec n et A fixés, on a : cos i cos r’ ∂D = 1 – ----------------------------cos r cos i’ ∂i La déviation atteint un extremum lorsque : cosi cosr’ = cosr cosi’ Élevons l’égalité au carré et introduisons les sinus : (1 – n sin r) (1– sin r’) = (1 – n sin r’) (1 – sin r) 2 2 2 2 2 2 40 Dm 35 20 30 40 50 60 70 80 90 im i(°) Fig. 3.18. Variation de la déviation D en fonction

mathématiques à connaître : 1) Etude d’une fonction : - calcul de la dérivée première (fonction croissante si f’(x)≥0 et décroissante si f’(x)≤0) - calcul de la dérivée seconde (fonction convexe si f’’(x)≥0 et concave si f’’(x) )≤0) - recherche des extremums : recherche des points d’annulation de la dérivée et définition du type d’extremum (maximum si f’’(x)<0 et minimum si f’’(x)>0) 2 2) Résolution d’un programme de maximisation Exemple pour un consommateur : Le programme du consommateur s’écrit

` ee e e l’intervalle. ´ Definition 10.5 : Extremum On dit que M ∈ R est un maximum de f si et seulement si il existe a ∈ I tel que f (a) = M et si, pour tout x de I, f (x) ≤ f (a) (on dit aussi que f pr´sente en a un maximum). On d´finit de mˆme e e e un minimum et on parlera d’extremum lorsqu’on aura un maximum ou un minimum. On notera : M = max f (x) x∈I m = min f (x) x∈I D´finition 10.6 : Extremum local e On dit que M = f (a) est un extremum local de f si et seulement si il existe un voisinage

e l’intervalle. ´ Definition 10.5 : Extremum On dit que M ∈ R est un maximum de f si et seulement si il existe a ∈ I tel que f (a) = M et si, pour tout x de I, f (x) ≤ f (a) (on dit aussi que f pr´sente en a un maximum). On d´finit de mˆme e e e un minimum et on parlera d’extremum lorsqu’on aura un maximum ou un minimum. On notera : M = max f (x) x∈I m = min f (x) x∈I D´finition 10.6 : Extremum local e On dit que M = f (a) est un extremum local de f si et seulement si il existe