Extremum

maximum de la partie f (A) = {f (x) | x ∈ A}. On dit que f admet un maximum local en a ∈ A s’il existe un intervalle ouvert I contenant a tel que f (a) soit le maximum de f (A ∩ I). On d´efinit de mˆeme la notion de minimum et de minimum local. Un extremum (local) est un maximum (local) ou un minimum (local). Ces d´efinitions ne sont que des g´en´eralisations des mˆemes notions vues dans le cas des suites. Remarque. Une fonction born´ee poss`ede toujours une borne sup´erieure et une borne inf´erieure

fonction constante fera dans le cas de fonctions e) Sens de variation simples . d'une fonction. ¥ L'Žl•ve devra savoir reconna”tre f) Taux de variation la paritŽ et la relier ˆ l'existence de fonctions usuelles. d'un centre ou d'un axe de g) Extremum. symŽtrie . On introduira le mot composŽe, le h) ParitŽ. i) ComposŽe de deux symbole "o" et la notation (f o g) (x) = f [g(x)] fonctions; ¥ On fera l'Žtude des variations j) ReprŽsentation soit par le taux de variation, soit graphique.

un point au coin de l’image (n = 1, 2, 3, 4) Coin[Texte, n]: Crée un point au coin du texte (n = 1, 2, 3, 4) Note : La numérotation des coins est faite dans le sens anti-horaire, à partir du coin inférieur gauche. 56 Extremum Extremum[Polynôme f] : Tous les extremums locaux du polynôme f (en tant que points). Foyer Foyer[Conique c] : (Tous les) foyers de la conique c PointInflexion PointInflexion[Polynôme f] : Tous les points d’inflexion de la courbe représentative du polynôme f. Intersection

d’idée a priori sur l’estimateur à utiliser, on va chercher l’estimateur du maximum de vraisemblance de a et étudier ses propriétés. La fonction de vraisemblance s’écrit, pour tout x i 0 , i = 1, ..., n : x i , qui peut –a être l’abscisse d’un extrémum de la fonction. Vérifions que l’on obtient un maximum en calculant la dérivée seconde. L ( x 1, ..., x n ; a ) = a n e ∑x i=1 n i Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement

classe 2 sur 2 . Supposant qu’en tout 0, montrer que f atteint son maximum sur ∂ 2 . Indication. Commencer par supposer ∆ f > 0 (on diagonalisera la matrice hessienne) puis considérer f + · 2 . Extremum de la somme sur un domaine fermé Se donnant un réel strictement positif a, étudier les extremums de la fonction x ∈ n ∗ n → xi sur le domaine ∩ xi−1 = a. + 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites Fonctions différentiellement isométriques Montrer qu’une fonction de clqsse

conditions . . . . 24.4. Intégrale dépendant d’une borne  . . . . . . . . . . . . . . . . 43 43 43 31. Fonctions R p → R 31.1. Limite et continuité . . . . . . . . . . . . 44 31.2. Classe C 1 et C 2 . . . . . . . . . . . . . . 44 31.3. Extrémums d’une fonction R2 → R . . . 44 44 32. Fonctions (ou suites) à valeur dans Rn ou Cn 32.1. Limite et continuité . . . . . . . . . . . . 44 46 32.2. Fonction Rn → R p , classe C 1 . . . . . . 46 32.3. Fonction Rn → Rn , classe C 1 . . . . . . 30

f g k 2.2 2.2.1 Théorème de Rolle - Théorème des accroissements finis Extremum local Définition 2.2.1. Soit f : I → R avec x0 ∈ I. f admet un extremum local en x0 : maximum (resp. minimum) local si : 1. Il existe α > 0 tel que ]x0 − α, x0 + α[⊂ I (x0 non extrémité). 2. ∀x ∈]x0 − α, x0 + α[, f (x) ≤ f (x0 ) (resp. f (x0 ) ≤ f (x)). Théorème 2.2.1. Soit f : I → R dérivable en x0 avec x0 ∈ I. Si f admet un extremum local en x0 alors f ￿ (x0 ) = 0. Démonstration. Supposons que f admette un

Exercice 23 : Soit f une fonction numérique tq : ( ) 24 4 5f x x x= − + + 1°a) montrer que ( ) ( ) 2 6 2 1f x x= − − pour tout x  b) montrer que ( ) 6f x  pour tout x  2° calculer : 1 2 f       et en déduire les extrémums de f sur Réponses: 1°a) on a fD = ( ) ( ) 2 2 2 2 6 2 1 6 4 4 1 6 4 4 1 4 4 5 x x x x x x x − − = − − + = − + − = − + + Donc : ( ) ( ) 2 6 2 1f x x= − − b) Donc pour tout x  on a ( ) 2 2 1 0x −  Par suite ( ) 2 2 1 0x− −

= - δU d’où δ (W+U) = 0 U est l’opposé de , travail des forces Fi calculé dans le déplacement virtuel (en supposant les forces Fi constantes). W- est l’énergie potentielle totale (EPT). On montre que, pour un corps en équilibre stable, cet extrémum de l’énergie potentielle totale est un minimum absolu. On énonce le principe du minimum de l’énergie potentielle totale ainsi: Parmi tous les champs cinématiquement admissibles, celui qui rend minimale l’énergie potentielle totale correspond

de gestion C(S) défini comme étant la somme du coût de possession associé au stock moyen des invendus [pic], et du coût de rupture associé au stock moyen de ventes ratées [pic] : [pic]    Du point de vue mathématique cela revient à chercher un extremum de la fonction de coût de gestion tel que pour la valeur optimale [pic] de l'approvisionnement initial le coût [pic] est inférieur ou supérieur à [pic]. En d'autres termes (c'est trivial) [pic] Ou [pic]    A partir de maintenant la question