Extremum

′(b) ⩾ 0 On obtient donc une contradiction puisque f ′(b) < 0. Donc le maximum ne peut pas être atteint en b. � CONCLUSION : Le maximum M de f est atteint sur ]a; b[. Autrement dit, ∃c ∈]a; b[ / f(c) = M Ainsi, f est dérivable en c, elle admet un extremum local en c qui n’est pas une extrémité de [a; b]. D’après une propriété du cours, f ′(c) = 0 Donc, ∃c ∈]a; b[ / f ′(c) = 0. La dérivée de f s’annule bien. Exercice no 16 Soit f une fonction définie et dérivable sur R vérifiant lim x→+∞ f ′(x) = +∞

cos h si 0 < h < Donc sin h 0 tel que f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 )) pour tout x ∈ ]a, b[ avec |x − x0 | < ε. Nous avons besoin du crit` ere n´ ecessaire bien connu pour l’existence d’un extremum local (voir la figure 5.4) : Proposition 5.21 Si f : ]a, b[→ IR a un extremum local en x0 ∈ ]a, b[ et si f est d´erivable en ce point, alors f (x0 ) = 0. Preuve Supposons que f admette un maximum local en x0 . Alors f (x) − f (x0 ) est x − x0 pour un certain ε > 0. Donc f (x0

de séparation des variables ? 5) Montrer qu’il existe une fonction H(x, y) constante le long des solutions de (4.101) : dH(x, y) ∂H(x, y) ∂H(x, y) =0= (ax − cxy) + (−by + dxy) . dt ∂x ∂y 6) Montrer que les solutions non nulles de (4.101) rendent extremum la fonctionnelle suivante t1 J(x, y, x, y) = ˙ ˙ t0 L(t, x(t), y(t), x(t), y(t))dt, ˙ ˙ 1 (x ln x y − (y ln y x) ˙ ˙ 2xy L = −H + C) Analyse du problème En 1917 (guerre oblige), l’activité de pêche est fortement ralentie, proposer un

. . . . . . . . . . . . . . . . 3 Étude qualitative de fonctions 3.1 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . 3.1.1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Tableau de variation . . . . . . . . . . 3.2 Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . 3.3.1 Fonction définie par morceaux . . . . 3.3.2 Fonction définie en quelques valeurs 4 Vecteurs du plan 4.1 Translation . . . . . . . . . . . . .

d´eterminer sa fonction d´eriv´ee f . On en d´eduit les maximums, les minimums de f, ainsi que le sens de variation. f ). Dresser le tableau de variation. g). Rechercher les points remarquables (point d’inflexion, d’intersection avec les axes, les extremums, etc...), ´etude de la concavit´e. h). ´etudier les branches infinies et asymptˆotes : Si limx→xo f (x) = ±∞ alors x = xo est asymptote verticale au graphe f Si limx→±∞ f (x) = l alors y = l est asymptote horizontale. au graphe f Si limx→±∞ f

deux mesures, on obtient Zcc 43                     Zc  =         Zccx Zou     et     tanh (yL) = =             Zou   Pour des lignes de faibles longueurs,  cette impédance Zc est imprécise puisque les impédances  mesurées tendent vers des extrémums (zéro pour Zcc et l’infini pour Zou )                  II­.3.2.9    Etude de quelques cas particuliers                      Il est aussi utile de se rappeler des valeurs du coefficient de réflexion dans quelques cas  particuliers: 1    er

| | |4° N = { } = (. On a une coloration en i (3) couleurs. | Recherche de Chemins de Valeur Extremum dans un Graphe Valué ( Définition Notation : G = ( X , U ) ( Graphe Orienté Valué arc ( Xi , Xj ) ( valeur cij (longueur, coût, délai, capacité, ...) ( Problème Chercher un chemin d’un sommet x1 vers un sommet xn de telle sorte que

isolés où f ′ = 0 alors f est néanmoins toujours strictement croissante (resp. décroissante). Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et soit x0 intérieur à I. • Si f admet un extremum local en x0 alors f ′ (x0 ) = 0. • Si f ′ s’annule en changeant de signe en x0 alors f admet un extremum local en x0 . 33 Preuve. f (x) − f (x0 ) . Supposons par exemple que f (x0 ) soit x − x0 un maximum local. Pour x dans un voisinage de x0 , on a donc f (x) < f (x0 ). Par conséf (x) −

f ′ 0 ; la résolution de f ′ = 0 est insuffisante car elle ne fournit pas le signe de f ′ . Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, et soit x0 intérieur à I. • Si f admet un extremum local en x0 alors f ′ (x0 ) = 0. • Si f ′ s’annule en changeant de signe en x0 alors f admet un extremum local en x0 . Preuve. f (x) − f (x0 ) . Supposons par exemple que f (x0 ) soit x→x0 x − x0 un maximum local. Pour x dans un voisinage de x0 , on a donc f (x) < f (x0 ). Par conséf (x) − f (x0 )

fonction g ′ dérivée de la fonction g . 3 2 1 → −  -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1. Utiliser le graphique pour déterminer le signe de g ′ (x) suivant les valeurs de x. En déduire le sens de variations de la fonction g . 2. Justifier que g possède des extremums ; pour quelles valeurs de x sont-ils atteints ? 3. Existe-t-il des points de la courbe en lesquels la tangente a un coefficient directeur égal a −4 ? Déterminer alors l’abscisse du ou des point(s) correspondant(s). B - Soit f la fonction définie sur