Extremum

e l’intervalle. ´ Definition 10.5 : Extremum On dit que M ∈ R est un maximum de f si et seulement si il existe a ∈ I tel que f (a) = M et si, pour tout x de I, f (x) ≤ f (a) (on dit aussi que f pr´sente en a un maximum). On d´finit de mˆme e e e un minimum et on parlera d’extremum lorsqu’on aura un maximum ou un minimum. On notera : M = max f (x) x∈I m = min f (x) x∈I D´finition 10.6 : Extremum local e On dit que M = f (a) est un extremum local de f si et seulement si il existe

(gradf (a) · v) + (t) d’o` u le r´esultat. COROLLAIRE: Soit f : U → R une fonction continˆ ument d´erivable. Soit a ∈ U tel que U contienne une boule centr´ee en a et sur laquelle f admet un maximum ou un minimum en a (c’est-` a-dire que a est un extremum local pour la fonction f ), alors gradf (a) = 0. D´ emonstration: En appliquant le corollaire pr´ec´edent ` a v et −v on voit que le produit scalaire gradf (a) · v est nul. Le seul vecteur orthogonal ` a tous les vecteurs de Rn est le vecteur nul

pour un réel ( ) ( ) ( ) et , cela signifie que la fonction est constante et nulle sur [ ], dans ce cas particulier n’importe valeur strictement comprise entre et vérifie 35 | ( )| ] Si ( [ )( ( ) [ | | atteint un extremum à l’intérieur de l’intervalle [ ] ) ] donc sa dérivée est nulle. 2. ( Par conséquent ) ( ) et ( ) ( ) [ entraine que ( ) ( ] ( ) ( ( )) ) Donc ( ( ) ) Et ( ) ( ( ) (

Déterminer les extrema de f sur [-5 ; 6]. Remarque : Étant donné que la calculatrice graphique détermine numériquement les extrema, les résultats sont des valeurs approchées. Il peut arriver que la calculatrice ne les trouve pas tous ou indique un extremum de manière erronée. Il est donc utile de se demander sur quel intervalle il peut se trouver. A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône RUN-MAT pour la mettre en surbrillance,

MAD 1 225 ; • A partir du 9 janvier 2009, le titre AFRIQUIA GAZ renoue avec la hausse et affiche au 23 juin 2009 un bénéfice de 10,0%. Sur toute la période étudiée, le cours moyen pondéré d’AFRIQUIA GAZ s’établit à MAD 1 385 , avec des extremums de clôture de MAD 1 145 et de MAD 1 598. Le titre draine sur le Marché Central un volume global de M MAD 1 414,9 pour 510 808 actions transigées. La moyenne quotidienne des volumes traités s’établit à M MAD 4,5, correspondant à 1 622 titres échangées

local. Et vice versa.  Quand la dérivée est de signe positif, la fonction est croissante. Quand elle est de signe négatif, la fonction est décroissante. Et vice versa. Utilisations possible de la deuxième propriété : 1. Déterminer l'abscisse xI d'un extremum local d'une courbe. 2. A partir de cet abscisse xI et de la formule de la fonction, on calcule l'ordonnée yI du sommet I. D'ailleurs, la tangente qui a pour coefficient g'(x) = 0 est tangente à la courbe Cu au point I. On pourrait aussi tracer (si

(gradf (a) · v) + (t) d’o` le r´sultat. u e COROLLAIRE: Soit f : U → R une fonction continˆment d´rivable. Soit a ∈ U u e tel que U contienne une boule centr´e en a et sur laquelle f admet un maximum ou e un minimum en a (c’est-`-dire que a est un extremum local pour la fonction f ), alors a gradf (a) = 0. D´monstration: En appliquant le corollaire pr´c´dent ` v et −v on voit que le produit e e e a scalaire gradf (a) · v est nul. Le seul vecteur orthogonal ` tous les vecteurs de Rn est le a vecteur

expériences seront menées avec des intervalles de température différents) ; • la vitesse de variation minimale pour qu’une différence de température soit ressentie (correspond à la vitesse de variation adoptée par l’utilisateur pour déterminer les extremums) ; • la durée maximale avant une perte importante d’efficacité de l’utilisateur (la peau devient insensible aux variations de température après un certain temps d’utilisation des plaques Peltier [Yang et Kwon 2008]). À noter que l’expérience porte

a un maximum local strict, s’il existe un voisinage de a, V ⊂ U tel que f(a) > f(M), ∀M ∈ V. On dit que f admet au point a un extremum local, s’il admet en a un minimum ou maximum local. On dit que f admet au point a un extremum local strict, s’il admet en a un minimum ou maximum local strict. Th´or`me 72 e e Si f : U ⊂ Rn −→ R de classe C 1 et admet en a ∈ U un extremum local, alors → − −− −→ gradf(a) = 0 . Remarque 22 La r´ciproque du th´or`me pr´c´dent est en g´n´ral fausse, toute fois on a le

systèmes sous amortis (0 < z < 1). La réponse à un échelon de niveau e0 est : 1 s(t) = Ke0 [1 e 0 zt sin( 0 1 z2 t + )] 2 1 z où = arctan 1 z2 z 0 1 z2 s(t) Ke0 s(t) t III-4-1 Instants et niveaux des extremums Puisque la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse indicielle, les extremums de la réponse indicielle ont lieu aux instants qui annulent la réponse impulsionnelle. t 4 • Modèles usuels 226 Or celle-ci est : s(t) = K 0 e 0 zt sin 2 1 z2 t 0 1 z 0 1 z2 k qui s’annule