Extremum

un majorant (minorant) de f sur I: 2. Soit x0 un élément de I: On dit que f admet un maximum (resp. minimum) en x0 si 8x 2 Df ; f (x) 6 f (x0 ) I I (resp. 8x 2 Df ; f (x) > f (x0 )): On note maxf (x) = f (x0 ) (resp. minf (x) = f (x0 )): Un extremum de f sur I est soit un minimum soit un maximum. 3. On dit que f est bornée sur I si elle est à la fois majorée et minorée sur I: Exemple 1 Un tableau de variation montre qie la fonction f (x) = 3x est bornée sur ] 8x 2] ce que l’ peut résumer par

;  [, l'équation f(x) = a admet au moins une solution dans [ – 4 ; 6]. e. Il existe deux réels a et b tels que a est différent de b et f(a) = f(b). Question 2 Soit f ( x)  x3(1  x) , définie sur  . Alors : a. f '(x)  4x3  3x . b. 0 est un extrémum de f sur  .  3 .  4 c. Pour tout réel x, f ( x)  f  d. La courbe de f a une unique tangente horizontale. e. lim f ( x)   . x Question 3 Soit f une fonction définie et dérivable sur  −{1} dont le tableau de variation est : x −

= ⇒ = ⇒ = P1 P2 P1 P2 Um 2 P 2 On peut donc dire qu’à l’équilibre du consommateur, le TMS entre les deux biens est égal au rapport des utilités marginales et au rapport des prix Remarque Les conditions du premier ordre définissent un extremum. Pour qu’il soit un maximum il faut que les conditions du deuxième ordre soient respectées, c’est-à-dire : d ² L < 0 Exemple d’application Samira OUKARFI – MICROECONOMIE Le comportement du consommateur (56) Le choix optimal du consommateur

Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x. c) Montrer que f admet 0 pour limite en +∞ et −∞. 2°) a) Montrer que f est dérivable et que f '(x) = 2.exp(−4x2) − exp(−x2) . b) Etudier la variation de f. Préciser les points où f admet un extremum. c) Calculer f "(x) et déterminer son signe. d) Construire Cf (on admettra que le maximum de f est sensiblement égal à 0,3). Suites définies par une intégrale. 7. Soit In = 1 ∫ −1 ( x 2 − 1) n dx . 1°) Démontrer que pour tout

... 35 II.3.3. Pouvoir des pointes – Applications : ..................................................................... 35 II.4. Champ à l'intérieur d'une cavité dans un conducteur : ................................................. 36 II.4.1. Extremum de la fonction potentiel : ...................................................................... 36 II.4.2. Application à un conducteur creux :...................................................................... 36 II.5. Pression électrostatique

représentations graphiques de fonctions : lecture d’une valeur, d’un extremum, de variations, etc. Les élèves devront savoir interpréter, correctement et avec les réserves nécessaires, les informations lisibles sur un graphique ; ils se souviendront en particulier qu’une lecture graphique ne donne le plus souvent que des valeurs approchées. L’utilisation de changements de fenêtre graphique permettra la recherche d’une approximation d’un extremum ou d’une solution d’une équation. Des exemples de changements

l'équation f(x) = a admet au moins une solution dans [ – 4 ; 6]. e. Il existe deux réels a et b tels que a est différent de b et f(a) = f(b). Question 2 Soit 3 ( ) (1 )f x x x  , définie sur  . Alors : a. 3 '( ) 4 3f x x x  . b. 0 est un extrémum de f sur  . c. Pour tout réel x, 3 ( ) 4 f x f        . d. La courbe de f a une unique tangente horizontale. e. lim ( ) x f x    . Question 3 Soit f une fonction définie et dérivable sur −{1} dont le tableau de variation est

ces coûts détermine la rétribution globale maximum (RGmax) que l’entreprise est prête à supporter dans les faits. Une vision plus claire encore des intentions est obtenue par l’expression de la part accordée à chaque objectif en pourcentage de cet extremum (« ratio de répartition »). À cet égard, le laboratoire pris en exemple réalise l’offre suivante : 1 Contingent d’heures supplémentaires à la disposition des visiteurs médicaux pour organiser des réunions avec des médecins dans le but de développer

mathématique du problème d'optimisation. Mathématiquement, le problème de la détermination du meilleur choix pour le consommateur, du meilleur panier pour lui, est un problème d'optimisation sous contrainte, autrement dit celui de la détermination d'un "extremum lié". Ce problème peut être résolu par la méthode dite de substitution mais on lui préfère en général la méthode dite de Lagrange. La méthode de Lagrange (ou méthode du lagrangien ou encore méthode du multiplicateur de Lagrange, multiplicateur noté

ces coûts détermine la rétribution globale maximum (RGmax) que l’entreprise est prête à supporter dans les faits. Une vision plus claire encore des intentions est obtenue par l’expression de la part accordée à chaque objectif en pourcentage de cet extremum (« ratio de répartition »). À cet égard, le laboratoire pris en exemple réalise l’offre suivante : Contingent d’heures supplémentaires à la disposition des visiteurs médicaux pour organiser des réunions avec des médecins dans le but de développer