Extremum

Intégrale impropre et intégrale dépendant d’un paramètre. - Topologie de IRn. Fonctions de plusieurs variables réelles. Dérivées partielles et différentiabilité, matrice jacobienne. Inversion locale et fonctions implicites. Formule de Taylor. Extremums libres et liés. - Suites et séries de fonctions. Critère de convergence uniforme ; limite de fonctions différentiables. - Séries entières : Rayon et disque de convergence. Fonction définie par une série entière. Etude sur de cercle de convergence

x a x    −  − − ∀ x ∈ ℝ, on a f (x) ≥ β et de plus f (……) = β donc f admet pour minimum ……… atteint pour x = ……… . Exemple : Déterminer les variations de la fonction définie sur IR par f (x) = x2 – 4x + 3 et en déduire l’existence d’un extremum que l’on précisera. Allure : D’où le sens de variation : Allure : D’où le sens de variation : Page 3 sur 5 II. Résolution de l’équation ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) – Factorisation d’un trinôme Définition : Soit f définie sur ℝ par f (x) = ax2 +

fonctions continues 4 Propriétés des fonctions continues Chapitre 6 Fonctions de n variables : calcul différentiel 1 Calcul différentiel d’ordre 1 2 Calcul différentiel d’ordre 2 Chapitre 7 Extremums 1 Extremums sur un ouvert 2 Extremums sous contrainte d’égalités linéaires Chapitre 8 Variables aléatoires réelles discrètes 1 Généralités sur les variables aléatoires réelles 2 Séries doubles convergentes 3 Indépendance de variables aléatoires

f, on lit les abscisses des points de la courbe d’ordonnée 1.Par lecture graphique, 3 est l'antécédent de 1 par f. | cour 6 Les variations et les extremums permettent de décrire le comportement d'une fonction numérique. Comment déterminer le sens de variation d'une fonction par calculs et sur un graphique ? Qu'est ce que les extremums d'une fonction ? Comment dresser et lire un tableau de variation ? 1. Sens de variation d'une fonction a. Définitions Soient I un intervalle et f une fonction

− ln x). 1 1 2 − ln x = (1 − 2ln x) x x x 1 qui est du signe de 1 − 2ln x. Cette différence s’annule pour x = e 2 = e. Sur ]0 ; e[, h ′ (x) > 0, donc h est croissante ; Sur ] e ; +∞[, h ′ (x) < 0, donc h est décroissante ; Donc la fonction h a un extremum (la dérivée s’annule en changeant de signe), qui est un maximum pour x = e. Comme ce nombre est entre 1 et e, le nombre h(x) est positif et est égal à la distance M N . 1 1 1 1− = . Donc Mn = h e = ln e(1 − ln e = 2 2 4 Cette fonction est dérivable

(α0) > 0 : on pose Ep " (α 0 ) 2K = ω2 o2 ε + ω2 ε2 = cste ⇔ Et alors : oo ε + ω2 ε = 0 La position d’équilibre est stable, avec des oscillations harmoniques à la pulsation ω autour de cette position. Conclusion Equilibre ⇒ Ep'(α0) = 0 (extremum de Ep) Ep"(α0) > 0 (minimum de Ep) : stable Ep"(α0) < 0 (maximum de Ep) : instable (Les positions d’équilibre stables correspondent aux « puits de potentiel »). Exemple : reprenons le pendule simple 0 • ↓g Ep = 0 Ec = l o 1 m (l θ )2 2 Ep

A l’ordre 2: Si f est de classe C 2 , nous avons le développement limité suivant, au voisinage du point a de U : f a  h   f a   i1 n f x i ah i  1 2   i1 j1 n n 2f x i x j ah i h j   o h 2 8) Extremums Soit U un ouvert de  n et f : U   une fonction. Définitions.On dit que f présente un maximum ( respectivement minimum) local en un point x 0 de U, s’il existe une boule Bx 0 , r contenue dans U telle que : f x  f x 0 , pour tout x  Bx

quand une asymptote est tracée. • Etude de fonctions - Déterminer le domaine de définition d'une fonction - Etudier la parité d'une fonction - Calculer la dérivée d’une fonction à l’aide des théorèmes. - Etudier le signe d’une dérivée - Déterminer un extremum d'une fonction à l'aide de sa dérivée - Déduire du signe de la dérivée le sens de variation d’une fonction - Dresser le tableau de variation d’une fonction - Déterminer l’équation d’une tangente - Justifier l’existence d’une solution de f(x) = l

(x) π π π π − ; − est symétrique par rapport à 0 de l’intervalle ; , 4 6 6 4 π π comme d’après la question 3) f est décroissante sur ; alors f est croissante sur 6 4 π π − ;− 4 6 Comme l’intervalle 5) Proposition 5 : Vraie Il faut déterminer les extremum de la fonction f . Il faut alors résoudre sur I : 1 sin 2x = 0 ou sin2 x = 4 π π x = 0 ou x = ou x = − 6 6 f ′ (x) = 0 ⇒ ⇒ ⇒ x = 0 ou sin x = 1 1 ou sin x = − 2 2 D’après les résultats des questions 3) et 4), on peut dresser le tableau de variation

tandis que les valeurs du paramètre h diffèrent de 3, ce qui correspond au quart de la période. Activité 3 a. 1) Les zéros de la fonction sinus sont associés aux extremums de la fonction cosinus. 2) Les zéros de la fonction sinus sont les mêmes que ceux de la fonction tangente. b. 1) Ils sont associés aux zéros. 2) Ils sont associés aux extremums. c. 1) La fonction tangente n’est pas définie pour les valeurs de x qui correspondent aux zéros de la fonction cosinus. 2) La période de la fonction tangente