Exercice Exponentielle

exp et ln 4. Dérivée et tableau de variation de la fonction ln 5. Synthèse de la séquence 6. Exercices de synthèse Séquence 5 – MA01 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Exercice La fonction exponentielle Vrai / Faux Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le cas où elle est fausse, proposez une modification qui la rende vraie. a) La fonction exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 0 et de raison 1

Exercices - Calcul d’intégrales : indications Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup 1. Poser u = √ t. 2. Poser u = ex . Exercice 2 - Changements de variables - Niveau 2 - L1/Math Sup 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = et − 1. Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives - L1/Math Sup - 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = x. Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 1 - L1/Math Sup Exercice 5 - Intégration

Chapitre 6 Fonction exponentielle Sommaire 6.1 Définition et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2 Théorème fondamental et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2.1 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2.2 Nouvelle notation de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

Les Nombres Complexes Prérequis: Coordonnées cartésiennes/polaires dans le plan réel Trigonométrie (formules + cercle) Résolution d'équation du second degré Exponentielles Introduction: On donne aux élèves des équations du second degré à résoudre pour d'une part vérifier les acquis et d'autre part introduire la notion de nombre imaginaire. Ex: x² = 16 (x-2)² = 0 2x² + 1 = 4 x x² = -1 On présente la solution de la dernière équation d'un point de vue historique (conformément

tout élément de F possède un unique antécédent. Exercice 2.1 ]0; +∞[ → Montrer que f : x → R 1 2x+3 est injective Exercice 2.2 Soient E, F, G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application de E dans G. On considère h une application de E dans F × G définie par h(x) = (f (x), g(x)). 1. Montrer que si f ou g est injective alors h est injective. 2. On suppose que f et g surjectives, h est-elle surjective ? Exercice 2.3 Trouver toutes les fonctions injectives f de N

complexes 3.1. Forme trigonométrique et exponentielle A l'aide du théorème de Pythagore, nous pouvons démontrer que la forme trigonométrique d'un nombre complexe s'écritoùet Pour tout réel, on note le nombre complexe Un nombre complexe s'écrit sous forme exponentielleoùet En utilisant la catégorie complexe de Maxima (rektform, polarform, cabs, carg...) remplir le tableau : Forme cartésienne Module Argument Forme trigonométrique Notation exponentielle Sqrt(3)/2+i/2 1 Pi/6 Sqrt(2)/2

d’estimation Réduction de la variance Estimateur sans biais à variance minimale La classe exponentielle de lois Plusieurs résultats généraux existent pour cette famille de lois. Il s’agit d’une famille de lois de probabilité englobant plusieurs lois. Définition Soit une famille paramétrique de lois admettant des fonctions de densité {f (x, θ); θ ∈ Θ ⊂ Rk }. On dit qu’elle appartient à la classe exponentielle de lois si la densité de probabilité conjointe L(x1 , · · · , xn ) = X1 , · · · , Xn , s’écrit:

Exercices - Développements limités : indications Calculs de DLs Exercice 1 - Somme et produit de DLs - L1/Math Sup - ? Exercice 2 - Composition de DLs - L1/Math Sup - ? Il faut composer les développements limités. Par exemple, pour ln(sin(x)/x), il suffit de faire le DL de ln(1 + u), puis de remplacer u par le développement limité de sin(x)/x. Pour (cos x)sin x, utiliser l’exponentielle. Exercice 3 - Inverse de DL - L1/Math Sup - ? Le DL de l’inverse d’une fonction se gère comme la composée

Moyenne mobile simple pondérée. – Lissage exponentiel simple. 4 Plan • Modèles pour séries avec tendances : – Régression linéaire. – Lissage exponentiel double (Holt). – Moyenne mobile double. • Modèles pour séries avec saisonnalité : – – – – Longueur du cycle. Multiplicateurs saisonniers. Décomposition de la série chronologique. Lissage exponentiel triple (Winters). • Complément – Le suivi des previsions. – Utilisation des ordinateurs. • Exercices. 5 5 La nature de la prévision et de la