Espace vectoriel euclidien

2 ALGEBRE Exercice 2-1 Soit n un entier naturel, n 2. On note E = Rn X ], l'espace vectoriel des fonctions polyn^mes a coe cients reels, de degre inferieur ou egal a n. o Soit a0 a1 : : : an , (n+1) reels distincts ou non. Pour tout j 2 N, P (j) designe la derivee d'ordre j du polyn^me P . o Montrer que l'application : n P (P Q) 7! P (j) (aj )Q(j) (aj ) j =0 de nit un produit scalaire sur E . Solution : On montre facilement que ( ) est une forme bilineaire, symetrique, gr^ce a la a linearite

Chapitre 1 – G´om´trie affine euclidienne dans le plan – e e Exercices I. Ciril, F. De Lepine, F. Duffaud, C. Peschard Exercice 1 → − → → − − Soit C = ( i , j ) la base canonique de P . → − 1. Les syst`mes de vecteurs suivants sont-ils des bases de P ? Si non, en extraire une base e ou la compl´ter pour obtenir une base. e → − → − − → → − − − a) →1 = 2 i + 3 j , →2 = i − j . u u → − → → − − → − → − − b) →1 = 2 i + 3 j , v 2 = −4 i − 6 j . v → → − − − → − → − − → → − − − c) →1 = i + j , →2 = −2

+ 2)Qn (X) + an X + bn , où an X +bn est le reste dans la division euclidienne de X n par X 2 −3X +2. Pour trouver la valeur de an et bn , on évalue l’égalité précédente en les racines de X 2 − 3X + 2, c’est-à-dire en 1 et 2. On trouve le système : an + bn = 1 2an + bn = 2n dont l’unique solution est an = 2n − 1 et bn = 2 − 2n . 2. Il suffit de remarquer que A2 − 3A + 2I3 = 0. Remplaçant dans l’expression de la division euclidienne, on trouve An = (2n − 1)A + (2 − 2n )I3 . Rang Exercice 8 - Explicite

iv Table des matières Introduction 1 Plongement à homotopie près 1.1 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . 1.1.3 Espaces de Thom . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Complexes et paires de Poincaré . . . . . . 1.1.5 Application de transfert . . . . . . . . . . . 1.2 Quelques théorèmes d’existence de plongements . . 1.2.1 Plongement en grande codimension . . . . . 1.2

Laboratoire J.-A. Dieudonn´e, 06108 Nice Cedex 2 Table des mati` eres Pr´ eface 5 1 Espaces m´ etriques 1.1 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 9 2 Espaces topologiques 2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . 12 Espaces probabilisés finis 12.1 Expériences aléatoires et modèles . . . . . . . 12.1.1 Premier exemple . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Deuxième exemple . . . . . . . . . . . 12.1.3 Troisième exemple . . . . . . . . . . . 12.2 Récapitulatif de vocabulaire . . . . . . . . . . 12.3 Espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Équiprobabilité

1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . 2.2.3 Propriétés des matrices carrées . . . . . . . 2.3 Espace euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rang d’une matrice An×p . . . . . . . . . . 2.3.3 Matrice euclidienne . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Eléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définitions

Forme trigonométrique .Géométrie dans l’espace Droites et plans Géométrie vectorielle Produit scalaire -Probabilités et statistiques : .Conditionnement, indépendance .Notion de loi à densité à partir d’exemples .Intervalle de fluctuation .Estimation Mathématiques (spécialité) : -Arithmétique : .Divisibilité dans Z .Division euclidienne .Congruences dans Z .PGCD de deux entiers .Entiers premiers entre eux .Théorème de Bézout

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramme en boˆte des variables principales . . . . . . . . . . . . . . . ı 30 30 30 31 32 33 35 35 36 36 36 37 38 39 39 41 42 44 44 44 44 44 46 46 46 46 52 57 57 57 57 58 58 58 59 59 Repr´ sentation vectorielle de donn´ es quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . e e Mod` le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Repr´ sentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

sont racines de A avec au moins le même ordre de multiplicité. Pour déterminer le reste de la division suivant les puissances décroissantes , on peut envisager les d’un polynôme A par un polynôme B de degré deux méthodes : - on pose la division euclidienne de A par B ; Dans le cas où B ne possède que des racines simples, on peut écrire R sous la forme et en écrivant cette relation pour les différentes racines de B, on en déduit un système de n équations linaires à n inconnues dont les sont les