Espace vectoriel euclidien

xn−1 = S (x) ∀x ∈] − R, R[, n=0 +∞ ∀x ∈] − R, R[\{0}, n=0 +∞ ∀x ∈] − R, R[, n=1 11 tels que u(x) = 0. C’est un sous-espace de E . R´sum´ du chapitre V : alg`bre lin´aire e e e e (3.5) L’image de l’application lin´aire u : E → F , not´ Imu, est l’ensemble des vecteurs de F de la e e forme u(x), x ∈ E . C’est un sous-espace de F . Familles libres, g´n´ratrices, bases e e (3.6) Un vecteur y de F est dans l’image de u s’il existe un vecteur x de E tel que y =

programme 1. Tout sur les s´ries (sauf le calcul des sommes, on pourra cependant utiliser les d´veloppements usuels des fonctions e e classiques). 2. R´visions sur les calculs de d´veloppements limit´s ou asymptotiques. e e e 3. R´visions sur les espaces vectoriels (sauf, matrices et d´terminants). e e 4. Constructions de bases adapt´es a un probl`me. e ` e 9.4.2 Les exercices +∞ k=n+1 Exercice 9.4.83 Soit f une fonction convexe sur [0, +∞[, qui tend vers 0 en +∞, montrer que : (−1)k f (k) ≤

polynˆmes ci-dessus est une famille libre de e o P2 . (c) Trouver toutes les racines de p. (Indication : on pourra effectuer une division euclidienne de polynˆmes) o o a e e e e 4. On consid`re l’ensemble P des polynˆmes (` coefficients r´els) de degr´ inf´rieur ou ´gal e ` 3 de la variable r´elle x. a e (a) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. (b) Donner une base de P. (c) En d´duire la dimension de P. e 5. Algorithme de H¨rner o Soit

l’image (resp. du noyau)       0 1 −1 1 2 4       resp. 2 2 0 1 1 3 4 est form´ee par les vecteurs   −1 1   1 0 LM270 UPMC 2011–2012 Corrig´e de la feuille 1 Exercice 5 (∗). Soient V un k-espace vectoriel, E et F deux sous-espaces vectoriels, de dimension p et q respectivement. Soit B0 = (v1 , . . . , vr ) une base de E∩F , on la compl`ete en une base E = (e1 , . . . , ep−r , v1 , . . . , vr ) de E et en une base F = (v1 , . . . , vr , f1 , . . . , fq−r ) de F

sur un ensemble de r´els d´fini ` partir e a e e a d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 : Inversibles dans un anneau quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 : Familles de sous-espaces de mˆme dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 15 : Approximation par convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 : Calcul de la somme des inverses des carr´s par la m´thode des coefficients de e e Fourier. . . .

stimul´ee pour qu’ils souhaitent aller plus loin dans l’approfondissement de leur apprentissage math´ematique d’une part et de leur connaissance de ces domaines passionnants d’autre part. 3 4 Table des mati` eres 1 Arithm´ etique 1.1 Division euclidienne . . . . . 1.2 pgcd et ppcm . . . . . . . . . 1.3 Th´eor`eme de B´ezout . . . . . 1.4 Algorithme d’Euclide ´etendu 1.5 Quelques cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 247 248 251 257 258 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 183 183 185 187 188 18. Espaces vectoriels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 271 271 273 275 276 13. Vocabulaire de la théorie des ensembles 195 Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des

Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 233 233 236 239 241 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 179 179 181 183 184 18. Espaces vectoriels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 251 251 253 255 256 13. Vocabulaire de la théorie des ensembles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices

dans ce cours et de pr´senter les probl`mes que nous ´tudierons. Nous come e e men¸ons d’abord par de brefs rappels et par des notations et d´finitions c e diverses. 1. D´finitions, notations et rappels. e 1.1. Points et sous-ensembles des espaces euclidiens. R sera le corps des nombres r´els et C sera celui des nombres complexes. Nous travaillerons e la plupart du temps dans Rn et n d´signera toujours la dimension. Les e n points de R seront g´n´ralement not´s x, y, ξ, η ; les coordonn´es de x

2I. En déduire que A est inversible et calculer son inverse. b) Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − 3X + 2. c) En déduire l’expression de la matrice An . Exercice 17 [ 00712 ] [correction] Soient D = diag(a1 , . . . , an ) ∈ Mn (K) et Exercice 22 Soit ϕ : M ∈ Mn (K) → DM − M D a) Déterminer noyau et image de l’endomorphisme ϕ. b) Préciser ces espaces quand D est à coefficients diagonaux distincts. [ 02929 ] [correction]  1   0 A=  .  .. 0 ··· 1 ..