Espace vectoriel euclidien

écrire : f(v) = x1 * f( e1 ) + x2* f( e2 ); Les données du texte donnent f( e1 ) =[pic] ; f( e2 ) = [pic] ; Avec ces données, on peut écrire : f(v) = x1 * [pic] + x2 * [pic] ; = [pic] Quel est le sous espace Imf ? Les éléments de Imf sont des vecteurs à 3 composantes; ce sont des éléments de R3. Par exemple, par définition de Imf, f(e1 ) est un élément de Imf. De même par définition de Imf, f(e2) est un élément de Imf. Les données du texte donnent

DP - SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk

Prérequis : - géométrie vectorielle dans le plan et dans l'espace : colinéarité, définition de droite et de plan au moyen de vecteurs directeurs, définition du produit scalaire, égalité de Pythagore (Pour l'ensemble de la leçon on se place dans un repère orthonormé. Cela est nécessaire pour les équations cartésiennes, pour le reste il suffit d'admettre l’existence d'une base) Remarque préliminaire : Il y a deux manières d'aborder la leçon : – On part de la définition vectorielle de l'orthogonalité. –

Exercice 1 :Vecteurs égaux - Point M Soit le vecteur v ( 1 ; 3 ) et le point A ( 4 ; 5 ). Vérification graphique : Déterminer le point M ( Xm ; Ym ) tel que v ( 1 ; 3 ) = AM Résolution de l'exercice : On a AC = ( Xm - Xa ; Ym – Ya ) = v ( 4 ; 5 ) Xm – Xa = 1 donc Xm – 4 = 1

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Important: Toutes les opérations possibles sur les vecteurs dans un plan sont les même que celles sur les vecteurs dans l’espace, il est donc possible de reprendre les même notions (par exemple la relation de Chasles) vu pour les calculs dans le plan et de les étendre à l’espace. I. CARACTÉRISATION D’UNE DROITE OU D’UN PLAN Dans l’espace une droite est caractérisée par les coordonnées de deux points distincts ou par la donnée d’un vecteur directeur et d’un point.

f(-x)=-f(x). Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans E. Notation : l’ensemble des endomorphismes de E se note L(E). Un isomorphisme de E dans F est une application linéaire bijective de E dans F. Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble

¸i¡1x1 (¡a0 ¡ a1¸ ¡ : : : ¡ an¡1¸n¡1)x1 = ¸nx1 Donc x1 ne peut être nul (un vecteur propre n’est pas nul), ¸ est racine de P et tout vecteur propre est multiple de X¸ = 0 BBB@ 1 ¸ . . . ¸n¡1 1 CCCA 1 c) On vient de constater que les espaces propres sont tous limités à des droites; la matrice tCP est donc diagonalisable si et seulement si il y a assez de telles droites pour engendrer l’espace entier, c’est à dire si P a n racines distinctes (et donc simples). La réciproque est du cours

Programme de Mathématiques Lycée Marceau 4. Équations différentielles A) Équations linéaires du premier ordre 1 - Définition et exemples, définition d’une solution sur un intervalle. 2 Résolution de l’équation homogène : structure (d’espace vectoriel) de l’ensemble des solutions, expression intégrale des solutions, sur un intervalle. Une solution non identiquement nulle ne s’annule pas, présentation usuelle des calculs. Unicité d’une solution satisfaisant à une condition initiale donnée. 3 -

pgcd(A, BC ) = pgcd(A,C ) . Division euclidienne Exercice 14 En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et suffisante sur (λ , µ ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2 . Exercice 15 Soit (a ,b ) ∈ K 2 tel que a ≠ b et P ∈ K[X ] . Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X −a )(X −b ) en fonction de P (a ) et P (b ) . Exercice 16 Soit a ∈ K et P ∈ K[X ] . Exprimer le reste de la division euclidienne de P par (X −a ) 2 en fonction de

taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An n [X] n( ) n( ) t M la boule unité de l’espace euclidien la sphère unité de l’espace euclidien k k+1 , c’est-à-dire ∂ k+1 iii Liste des résultats 1.1 1.1 1.1 1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.4 1.5 1.5 1.5 1.6 1.6 2.1 2.2 2.3 2.3 2.4 2.4 2.5 2.5 2.6 2.6 2.7 2.7 3.1 3.1 Prolongements d’un ordre partiel . . . . . .