Espace vectoriel euclidien

........................................................................ 5 4. Les produits vectoriels............................................................................................................................ 5 Le produit interne............................................................................................................................................ 6 Le produit vectoriel ..........................................................................................

courbe entre −10 et 10 avec Maple. 3- Etudier la suite (xn )n 4- On choisit x0 > 0 e a- D´terminer un r´el α tel que xα − xα converge vers un r´el non nul. e e n n+1 b- En d´duire un ´quivalent de xn e e +∞ CENTRALE 19 Soit K un compact d’un espace vectoriel norm´ et f : K → K continue. Montrer qu’il existe une partie non vide e G de K telle que f (G) = G CENTRALE 20 E et F d´signent deux evn. Soit K un compact et une application continue e f: E×K → F (λ,x) → y e 1- Soit y ∈ F et Ey = {λ ∈

Magnétostatique et électrostatique • thermodynamique Mathématiques  • rappel de terminale • Complexes • Intégrale et dérivation • Analyse : équations différentiels, suites, D.L., équations paramétriques… • Algèbre linéaire  • Géométrie affine et euclidienne Chimie • Atomistique et liaison chimique • Thermodynamique chimique • Cinétique chimique • Chimie organique Informatique : Initiation à l’algorithmique (langage : soit du pascal ou du fortran voir du C) Anglais (en général 2h/semaine)

de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration, approximation Espaces vectoriels euclidiens, géométrie 69 70 71 72 Approximation d’un nuage de points par une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire euclidienne, polynômes 86 87 89 90 Puissances, commutant de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire euclidienne, polynômes Composée de deux rotations dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

est à DA " Nous allons voir comment ce théorème est démontré par Euclide et comment cette propriété peut induire le théorème sous sa forme actuelle. Voici la démonstration retouchée en notation et vocabulaire modernes, les passages dans le style euclidien bénéficieront d’un alinéa. Les triangles ADE et CDE sont entre eux comme leurs bases AE et EC sont entre elles. Les aires des triangles ADE et CDE sont respectivement ½AE×h’ et ½CE×h’, en effet, ils ont la même hauteur h’. Les triangles BDE et

manières différentes. Exercice 9 [ 01254 ] [correction] On considère la matrice A=  −1 3 −2 4 [ 00403 ] a) Calculer A2 − 3A + 2I. En déduire que A est inversible et calculer son inverse. b) Pour n 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 − 3X + 2. c) En déduire l’expression de la matrice An . Exercice 10 X MP Soit [correction] 1 0 . . . 0 ··· 1 .. . ··· ··· .. 0 1 . . . . . . 1     ∈ Mn (R)   [ 02929 ]    A=   . Diffusion autorisée à titre entièrement

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e 7 Courbes param´tr´es e e 7.1 Fonctions a valeurs dans R2 . . . . . . . . . ` 7.2 Courbes param´tr´es

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 55 57 60 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 53 55 57 60 6 G´om´trie de l’espace e e 6.1 Modes de rep´rage dans l’espace e 6.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . 6.3 Produit vectoriel . . . . . . . . . 6.4 D´terminant, produit mixte . . . e 6.5 Droites et plans . . . . . . . . . . 6.6 Sph`res . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

divisible par (X − a)k et pas par (X − a)k+1 ). a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q (si et seulement si P est divisible par (X − a)k ). k−1 Théorème. Le reste de la division euclidienne de P par (X − a)k est i=0 P(i) (a) (X − a)i . i! Théorème (caractérisation de l’ordre de multiplicité). a est racine de P d’ordre k si et seulement si P(a) = P ′ (a) = . . . = P(k−1) (a) = 0 et P(k) (a) = 0. a est racine de P d’ordre au moins