Dm Nombre Complexes

dominée donc lim J r   b  f  tbdt et par caractérisation séquentielle de la limite on a: n ,b n 0 r0  i i lim J ,b r  b  f  tbdt  b  tb  exp tb dt  b 1  t  exp tb dt. 0 0 0 1 1 1 1 4 Remarque: même si b est complexe on a encore la formule tb   t  b  en effet: comme t  0 alors tb   explnt|b|  iArgtb  explnt|b|  iArgb  t  expln|b|  iArgb  t  b  . 4.3.1) D’aprés 4.1) on a f   H et d’aprés 4.2) ir, b  J ,b r

. . . . . . . . . . . Équations de Maxwell Les équations de Maxwell (régime temporel) . . La divergence: un champ scalaire . . . . . . . . . . Le rotationnel: un champ vectoriel . . . . . . . . . Régime harmonique: amplitude complexe . . . . Avantages de la notation complexe . . . . . . . . Les équations de Maxwell (régime harmonique) Les champs D et H; relations constitutives . . . Les équations de Maxwell (lhi; harmonique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(πA,C ) ≤ d = deg (πA,R ) . ( ) Comme d est le degré du polynôme minimal dans R [X] de A ∈ Mn (R) , le système Ak 0≤k≤d−1 est nécessairement R-libre dans Mn (R) , ce qui entraîne qu'il est C-libre dans Mn (C) . En eet d−1 ∑ s'il existe des nombres complexes λ0 , · · · , λd−1 tels que λk Ak = 0, en notant λk = αk + iβk avec αk et βk réels, on a d−1 ∑ k=0 αk Ak = 0 et d−1 ∑ k=0 k=0 βk Ak = 0 dans Mn (R) (A est réelle) et αk = βk pour tout k. ( ) Comme d′ est le degré du polynôme minimal

9782100547678-Fresl-TDM.qxd 8/07/10 12:27 Page III Table des matières Avant-propos IV Partie 1 Première période 1 2 3 Fonctions usuelles Nombres complexes Équations différentielles 3 29 49 4 Géométrie 59 Partie 2 Analyse © Dunod La photocopie non autorisée est un délit 5 6 7 8 9 Nombres réels, Suites Fonctions continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre

Applications géométriques des nombres complexes Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2011/2012 Table des matières 1 Affixe d’un vecteur 2 1.1 Définition – Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Distances et angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Caractérisation des cercles et des médiatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soutien TS fiche 09 : complexes 2 I) Argument et forme trigonométrique 1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres : a) z = − 2 − i 2 b) z = 3 i c) z = −2 d) z = −2 + 2i 3 e) z = − 3 + 3 i 2 2 2. Construire à la règle et au compas les points A, B, C, D définis par : z A = 3 et arg z A = π ; z B = 2 et arg z B = π ; zC = 4 et arg zC = − π ; Re( z D ) = −4 et arg z D = 3π 4 3 6 4 II) Forme exponentielle 1. Mettre sous forme exponentielle : m = 3 +i 3 n = 6 −i 2 p=i

1 : Nombres complexes 1) Introduction L’objectif est l’introduction d’un nouvel ensemble de nombres (en fait on étend encore l’ensemble des nombres, au-delà des réels) pour résoudre une préoccupation importante. Certaines équations du second degré, comme par exemple , n’ont pas de solution dans . On introduit alors un nombre noté i tel que « i » pour « imaginaire » opposée à « réel » Les nombres complexes vont être obtenus comme toutes les sommes , lorsque et sont des nombres réels

u. La  droite  devient  ainsi  l’axe  normé  ( Ox ). Remarque : en Physique, le Système International fixe le mètre (m) comme unité légale de distance. Cependant  tous  les  multiples  (dam,  hm,  km…)  et sous-multiples1 (dm,  cm,  mm,  …,  µm,   …,  nm…)  peuvent  aussi  être  utilisés. B. Vecteur unitaire Nous pouvons définir le vecteur unitaire i attaché   à  l’axe   normé   ( Ox ). Sa direction est celle de la droite (x’x), son  sens

l'occasion Chef de département . SOMMAIRE INTER-ACTIF cliquez directement sur les sujets! L'auteur Page 1 L'auteur Contexte le rôle d'enquêteur Page 2 rôle du technicien en électronique OUTILS pour l'enquêteur Page 4 outils théoriques impédances complexes Page 5 association d'impédances Page 6 calculs avec les impédances Page 7 8 nœuds maille superposition , exercicespage 8 Page 9 outils graphiques le plan X Y , droite de charge Page 10 11 12 outils pratiques alims , voltmètres oscilloscope OBJETS

 3  2  Alors 1, 0,  ;  0,1,  est une base de E. 5  5   5. Dimension d’un sous espace vectoriel Définition et théorème: Soient n  N  et E un sous espace vectoriel de R n . Alors E admet des bases et toutes ces base ont le même nombre de vecteurs appelé la dimension de E, et noté dimE et on a dimE  n . Ainsi, si B est une base de E alors dimE  cardB  n. Exemples:   3    2  1. Nous avons montré dans l’exemple précédent que : 1, 0, 5  ;  0,1, 5  est une base